Две основные задачи динамики точки
Дифференциальные уравнения движения в проекциях на неподвижные декартовы оси
Рассмотрим криволинейное движение некоторой точки М массы m под действием силы F в неподвижной системе координат (рис. 3).
Её движение описывается основным уравнением динамики 
= m
, = 
= 
, следовательно,
= m(5)
Полученное равенство (5) называется дифференциальным уравнением движения свободной материальной точки в векторной форме. Спроектируем обе его части на неподвижные оси, обозначив проекции силы оси X, Y, Z, радиуса- вектора x,у, получим три скалярных уравнения:
Рис. 8 X = m
;Y = m
; Z = m (6)
Система (6) - дифференциальные
уравнения движения точки в скалярной форме. Если точка движется плоскости, то
для неё составляют два дифференциальных уравнения: X = m;
Y = m, а если ее движение прямолинейно
, то одно X = m.
Для несвободной материальной точки основное уравнение
пишется так: m = + 
и дифференциальные уравнения примут вид: m
= + (в векторной форме) и m = X + Nx; m
= Y + Ny; m
= Z + Nz (в скалярной форме).
Если на точку одновременно
действуют несколько сил, то в равенстве (5) под следует понимать их равнодействующую, а под
X, Y, Z - ее проекции на оси OX, OY, OZ.
Дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси
В некоторых случаях удобнее равенство = m проектировать на естественные оси (рис. 9). Обозначим
проекции силы, действующей на точку t, n, b, а ускорения t, n, b. Тогда в проекциях на оси равенство = m выглядит так: Ft = ma; Fn = man; Fb = mab.
Но проекции
ускорения на естественные оси: Рис. 9 
; 
;
.
Тогда
;
;
.
Полученная система (7) и есть дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в проекциях на естественные оси координат. Если точка несвободная, то эти примут вид:
; 
; 
.
Если же на точку одновременно действуют несколько сил, то в системе (7) под F>t; Fn; Fb следует понимать сумму проекций всех этих сил на естественные оси или проекции их равнодействующей.
Уравнения системы (7) называют еще уравнениями в форме Эйлера, так как они были впервые получены Л. Эйлером его труде "Механика или наука о движении, изложенная аналитически" (1736 г.). Уравнения же (6) получены им позднее (1765 г.) "Теория движения твердых тел".
В динамике все задачи делятся на первую и вторую основные задачи. Первая формулируется так: по заданному закону движения точки определить силу, действующую нее, вторая (обратная) - известным силам, действующим точку, найти ее закон движения.
Первая задача возникает, например, при изучении сил, вызывающих движение планет. Кинематические законы их движения были даны Кеплером, что позволило Ньютону открыть и обосновать закон всемирного тяготения. Вторая встречается, определении траектории снаряда или закона маятника.
Обе задачи решаются при помощи дифференциальных уравнений движения материальной точки. И если первая решается сравнительно просто, то решение второй в окончательном виде удается получить далеко не всегда. Поэтому основное содержание динамики сводится к изучению методов решения основной задачи.
Рассмотрим решение обеих задач динамики точки.
Первая основная задача.
Зная движение точки, определить саду, действующую на точку. Пусть задано координатным способом:
x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t).
Силу можно отыскать по её проекциям на неподвижные оси X, Y, Z, которые равны:
; 
; 
.
Найдём , , и подставим их в эти формулы. Зная
проекции вектора, на оси, величину его и направление находит по формулам:
; 
; 
; 
.
Пример. Материальная точка массы m = 1 г движется согласно уравнениям: x=3t2; y=4t2 см. Определить силу, действующую на точку.
Имеем 1-ю задачу динамики. Чтобы ее решить, запишем для данной
точки уравнения: 
; 
. Найдем и , =6, =8:
;
; 
;
; 
.
Примечание. Если движение точки задано естественным способом, то для нее следует составить уравнения в форме Эйлера и силу найти по проекциям на естественные оси:
; 
; Fb=0.
Так как закон движения точки
S=f(t) задан и траектория известна, то скорость 
найти нетрудно, 
тоже найдем, 
- известно, задача полностью решена.
