Затухающие и вынужденные колебания точки
Как уже видели, под действием восстанавливающей силы точка совершает
гармоническое колебание, амплитуда которого постоянна. Однако на опыте с грузом,
подвешенным к пружине, можно проследить, что амплитуда на самом деле не остается
постоянной. Совершив некоторое число колебаний, груз остановится. Объясняется
это явление действием сил сопротивления.
Рассмотрим, как влияет на колебание точки сила сопротивления среды.
Пусть на материальную точку М массы m действуют Рис. 26
восстанавливающая сила F=cx и сопротивления среды (рис.
26) R=>mV (пропорциональная первой степени
скорости при малых скоростях). Зная силы, действующие на точку М, определим закон
ее движения. Имеем вторую основную задачу динамики. Чтобы ее решить, составим
дифференциальное уравнение движения точки 
.
Подставив значения F и R, имеем 
. Сделав соответствующие преобразования, приведем дифференциальное
уравнение движения точки к виду 
.
Далее разделим его на массу m:
, обозначим 
Здесь k - частота свободных колебаний;
n - коэффициент затухания.
Уравнение примет вид
. (1)
Это однородное линейное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами. Чтобы записать его решение, составим характеристическое
уравнение>
. Корни его 
.
Могут быть три случая:
1) n<k - случай малого сопротивления;
2) n=k - критического сопротивления;
3) n>k - большого сопротивления
Рассмотрим только случай малого сопротивления n<k
При n<k>
, где 
.
Общее решение дифференциального уравнения (1), являющееся законом движения точки М, имеет вид
. (2)
где C1, C2 - произвольные постоянные интегрирования, отыскиваются они по начальным условиям.
Пусть при t=0;>
; 
.
Найден скорость точки М в любой момент времени:
. (3)
Подставив в равенства (2) и (З)
t=0;>; , получим:
; 
. (4)
Заменим постоянные C1 и C2 через новые а>a по формулам: C1=asina; C2=acosa.
Уравнение (2) примет вид
. (5)
Новые постоянные а и>a определяются тоже по начальным условиям. Найдем скорость точки
. (6)
Решаем совместно равенства (5)
н (6), задавая t=0;>; .
Найдем>
; 
,откуда
(7)
Выясним характер движения точки М, исходя из закона точки, определяемого равенствами (2) и (5).
Движение,
соответствующее уравнениям (2) и (5), носит колебательный характер, так как координата
x периодически меняет свой знак с изменением знака, входящего в уравнения синуса.
Отличаются эти от уравнений гармонического колебания множителем e-nt, постепенно
убывающим. Следовательно, это движение можно рассматривать периодическое колебание
с. постоянно уменьшающейся амплитудой, т.е. затухающее. Величина> называется частотой затухающих колебаний.
Максимальные
модули величин последовательных отклонений точки от равновесного положения в одну
и потом другую сторону назовем последовательными амплитудами колебаний точки.
Графиком данного колебании является синусоида (рис. 27), вписанная о6ласть, ограниченная
кривыми:>
и 
.
Рис. 27
На графике видно, что величины последовательных амплитуд уменьшаются с течением времени, стремясь к нулю, т.е. затухают.
Колебания точки М не являются периодическими (см. рис. 27). Однако условно периодом затухающих колебаний принято называть промежуток времени Т1, равный периоду sin(k1t+>a), т.е. величину
. (8)
Промежуток времени между двумя
последовательными отклонениями точка в одну и ту же сторону тоже оказывается (как
увидим ниже) равным>.
Таким образом, под периодом затухающих колебаний и следует понимать время одного полного колебания точки или промежуток времени между двумя последовательными отклонениями в одну ту же сторону.
Сравним
период затухающих колебаний>
с периодом гармонических колебаний 
, так как k1< k, видим, что 
,
т.e. T1> T, период затухающих колебаний больше периода, свободных гармонических
колебаний.
Лекция 8. Механизмы передач с гибкими звеньями.
Винтовые механизмы.
Вопросы, рассматриваемые на лекции. Ременные механизмы. Цепные механизмы. Канатные механизмы. Волновая передача. Винтовые механизмы. Резьба, относительное движение.
Некоторые основные понятия.
Под гибкими звеньями понимают ремни, канаты, цепи, нити, которые охватывают два или более звеньев и устанавливают определенную связь между движениями этих звеньев.
Передаточное отношение:
Рис.20 Механизм с гибким звеном Рис.21.Механизм с гибким звеном
(открытая ременная передача) (перекрестная ременная передача)
Рис.22. Механизм с гибким звеном Рис.23. Механизм с гибким звеном и
и направляющими роликами натяжным роликом
Винтовые механизмы- это механизмы, содержащие винтовую пару. Винт и гайка образуют кинематические пары со стойкой или другими звеньями. Винт и гайка имеют винтовую поверхность- резьбу, характеризующуюся профилем, ходом резьбы и углом подъема резьбы.
Рис.24. Трехзвенный винтовой механизм
Относительное движение звеньев винтовой пары представляет собой вращение звеньев вокруг оси и поступательное перемещение вдоль оси пары.
Рис.25. Винто-рычажный механизм для перемещения коромысла
