Сопротивление среды увеличивает период свободных колебаний. Однако
при>
, 
, следовательно, малое сопротивление почти не
влияет на период колебаний.
Найдем те моменты времени t1, t2,…, в которые точка получает максимальные отклонения x1, x2,…, xn от равновесного положения 0. В крайних положениях скорость точки М равна нулю:
. (9)
Откуда>
ж
; 
. (10)
Так как>
- многозначная функция с периодом
p,
тогда>
;
;
Получаем последовательность t1, t2,
t3,…, которая является арифметической прогрессией с разностью>
.
Таким образом, через одинаковые промежутки времени,
равные>
, скорость точки, прохода через 0, меняет знак, т.е. изменяет
направление движение точки,
Найдем максимальные отклонения точки от равновесного
положения x1, x2, x3,…. Для этого положим в равенстве>
t=t1;
;
;
; 
;
Рассмотрим последовательность максимальных отклонений x1, x2, x3,…. Сравнивая x3,…, видим, что
1) в моменты t1, t2, t3,… точка находится по разные стороны от центра 0 (так как знаки x1, x2,… чередуются);
2) x1, x2, x3,… убывают по модулю закону убывающей геометрической прогрессии со знаменателем
, называется декрементом затухающих колебаний.
Натуральный логарифм декремента называется логарифмическим декрементом>
.
Вывод. Малое сопротивление вызывает постепенное затухание свободных колебаний вследствие убывания размахов но закону геометрической прогрессии.
Рассмотрели случай n<k. При n=k, n>k движение точки не будет колебательным, поэтому эти случаи рассматриваем.
При n=k>
(z1=z2).
При n>k>
.
Примером затухающих колебании являются колебания маятника, груза, подвешенного на упругой пружине, если они при своем движении встречают сопротивление воздуха.
Пример. Материальная точка совершает прямолинейные колебания под действием
восстанавливающей силы и силы сопротивления среды R=mV (рис. 28). В начальный момент x0=0, V0=1
м/с. Зная, что период колебаний Т1 = 2 с, а декремент затухания Д=
, найти закон движения точки. Рис.
28
Составим схему сил, действующих на точку. Дифференциальное уравнение
ее движения имеет вид>
; 
, преобразовав, получим: 
; 
, где 
; 
.
3апишем решение уравнения
(n<k),
найдем:>
; 
,
тогда>
.
Вычислим n и k.
; 
;
; 
; n=ln2=0,6931.
Закон движения точки примет вид
, но 
,
тогда закон затухающего колебания точки
.
Рассмотрим движение точки M под действием
восстанавливающей силы>
и некоторой силы 
, меняющейся по закону синуса или косинуса,
называемой возмущающей силой Q=Hsinpt (рис. 29).
Составим схему сил и запишем |дифференциальное уравнение движения точки:
; 
; 
;
Рис. 29>
;
; 
. (13)
Обозначим>
; 
.
Здесь H - амплитуда возмущающей силы;
P - угловая частота возмущающей силы;
c, m, H, p - постоянные величины.
Уравнение (13) является дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью. Его решение: x = x1 + x2.
Общее решение x складывается
из общего решения однородного уравнения>
и частного решения неоднородного уравнения 
, при p
k.
Найдем A и B.>
;
.
Подставим значения>
, 
в уравнение (13):
,
откуда>
; B=0,
тогда>
.
Общее решение уравнения (13) таково:
. (15)
Из уравнения (15) видно, что движение
данной точки складывается из собственных колебания (первое слагаемое) и вынужденных,
обусловленных действием возмущающей силы Q (второе слагаемое), коэффициент при
sinpt определяет амплитуду вынужденных колебаний>, где k - частота собственных колебаний,
a р - частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы. Период вынужденных
колебаний тоже ранен периоду возмущающей силы 
.
Следует отметить, что амплитуда, период, частота вынужденных колебаний не зависят от начальных условий.
Если p=k, то частное решение уравнения (13) ищется в виде
.
Найдем A и B. Вычислим:
;
.
Подставим> и в уравнение (13) после преобразования,
получим
, откуда А=0; 
и 
. (16)
Общее решение уравнения (13)
(17)
Колебания точки представляют собой
наложенные друг на друга два колебания - собственное и вынужденное. Уравнение
вынужденных колебаний представлено равенством (16). Они сдвинуты по фазе>
по отношению к возмущающей силе:
.
