Основные теоремы динамики для материальной точки
Раздел состоит из трех тем и рассчитан на 6 ч самостоятельной работы студентов в классе "Аккорд". После его изучения студент должен:
1) знать: а) определения количества движения точки, импульса силы, момента и кинетической энергии работы силы; б) формулировки основных теорем динамики точки в дифференциальной интегральных формах; в) законы сохранения точки;
2) уметь: а) вычислять количество движения, момент количества кинетическую энергий точки, импульс и работу силы; 6) практически применять основные теоремы динамики точки для решения задач; в) законы сохранения движения момента точки;
3) помнить: а) формулы для вычисления количества движения и момента движения, кинетической энергии точки, импульса работы силы; о) формулы, выражающие основные творены динамики; в) порядок решения задач.
Тема 6. Теорема об изменении количества движения точки
Характеризует импульс силы эффект действия за некоторый промежуток времени.
1. Импульс силы (постоянной) есть вектор>
, равный' произведению сила на время ее действия. Направляем
этот вектор в сторону вектора силы, т.е.
(1)
2. Импульс переменной силы. Чтобы
найти импульс силы за конечный промежуток времени t, нужно разбить этот на очень
большее число n малых промежутков>Dti
и вычислить импульс силы на одном промежутке. На протяжении такого промежутка
силу можно считать постоянной как по величине, так и по направлению, и импульс
вычислить, как и для постоянной силы произведением силы на время. Называется такой
импульс элементарным импульсом переменной силы. Обозначается 
и равен 
.
Элементарным импульсом переменной силы
называется векторная величина, равная произведению на бесконечно малый промежуток
времени, в течение которого действует эта сила. Направлен элементарный импульс
сторону вектора силы. Далее, вычислив элементарный каждом промежутке>Dti,
необходимо составить геометрическую сумму элементарных импульсов, соответствующих
каждому из этих промежутков, и затеи перейти к пределу. Предположив, n®¥,
Dti®0
получим полный импульс переменной силы за конечный промежуток времени и 
,
- (2).
Вывод. Импульс переменной силы
за конечный промежуток времени выражается определенным интегралом от векторной
функции. Если обозначить проекции вектора>на оси ОХУZ через 
, а проекции вектора на те же оси через 
, то получим, проектируя на эти оси равенство (2):
; 
; 
(3)
Основными мерами механического движения являются количество точки н кинетическая энергия точки.
Количеством движения точки называется вектор, равный произведению массы
точки на скорость, т.е. 
. Направлен вектор, как и скорость, по касательной к траектории
(рис. 36).
Вектор количества движения характеризует способность механического
движения передаваться другим телам в виде же движения. Например, один биллиардный
шар, ударив другой, передает ему часть своего>.
Кинетической энергией точки называется скалярная Рис. 36
величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее
скорости, т.е.>
. Она характеризует способность механического
движения превращаться в другие виды движения. Например, часть кинетической энергии
при ударе биллиардных шаров теряется и переходит в другие виды энергии: звук,
теплоту.
Обе основные меры - и количество движения, кинетическая энергия существуют одновременно в любом механическом движении не противоречат друг другу.
Пусть материальная точка М массы m движется под действием силы>
(рис. 37а). На основании второго закона динамики
или
. (4)
Умножим обе части этого равенства на dt, получим
, (5)
где> - количество движения точки;
- элементарный импульс силы, действующей на
точку.
Равенство (5) выражает теорему о количестве Рис. 37 движения точки в дифференциальной векторной форме.
Проинтегрируем равенство (5), получим эту же теорему в интегральной форме (векторной):
;
, (6)
где> - импульс силы F.
Теорема читается в первом случае так: дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.
Во втором случае изменение вектора количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку то же время (рис. 37б).
Спроектируем равенства (5) и (6) на неподвижные оси 0ХУZ получим:
(7)
(8)
Система (7) выражает теорему о количестве движения точки в дифференциальной скалярной, а система (8) - интегральной скалярной форме.
Теперь теорема читается в первом случае так: дифференциал проекции количества движения точки на какую-либо ось равен элементарного импульса силы ту же ось. Во втором случае: изменение равно
Частые случаи
1.>
, тогда 
. 
- закон сохранения количества движения.
(9)
2.>
, тогда 
. 
- закон сохранения проекции количества
двилeния (10).
Пример. Материальная точка брошена под углом>a к горизонту с начальной скоростью V0 (рис. 38). Определить скорость точки в вершине траектории. Сопротивлением пренебречь.
Решение. На точку, кроме силы тяжести, никакие не действуют, а ее проекция X=0. Следовательно,
;
; 
;
; 
Порядок решения задач с помощью теоремы об изменении количества движения материальной точки
1. Выбрать систему координат.
2. Изобразить на рисунке все силы, приложенные к Рис. 38
материальной точке, т.е. активные силы и реакции связей.
3. Записать теорему об изменении количества движения материальной точки в проекциях на оси:
4. Если в задаче требуется определить начальную или конечную скорости точки при заданном законе изменения сил и промежутке времени их действия, то, вычислив проекции импульсов по формулам:
; 
; 
и подставив их значения в уравнения предыдущего пункта, определяют искомые проекций скорости точки;
если по условию задачи требуется определить одну из постоянных сил (например F), приложенных к материальной точке, то ее можно легко получить уравнений пункта 3, так как в атом случае:
; 
; 
.
Определив отсюда X, Y, Z, найдем F
по формуле>
.
