Теорема об изменении момента количества движения точки
Рассмотрим движение материальной точки М массы m под действием силы
в неподвижной системе отсчета OXYZ
(рис. 40). Определим 
. Этот вектор перпендикулярен плоскости DАОМ,
в которой расположены сила и радиус-вектор 
точки М, и равен численно m0=2SDАОМ. Из статики известно, что его проекции
на оси 
определяют моменты силы относительно осей координат.
Введем новое понятие вектор - момент количества движения точки относительно>
. Он перпендикулярен плоскости, в которой лежат
векторы и 
( - радиус - вектор точки М). 
- вектор количества движения точки M.
>
численно равен 2SDОМК.
Его проекции на оси Рис. 40
называются моментами количества движения точки
относительно осей координат.
Установим зависимость между векторами> и 
. Для этого продифференцируем обе части равенства 
по времени:
.
. (1)
из кинематики точки,
^^1
, так как векторы коллинеарны.
Полученное равенство (1) выражает теорему о моменте количества движения точки в векторной форме: производная от момента относительно некоторого центра по времени равна моменту силы, действующей на точку, того же центра.
Спроектируем равенство (1) на оси OXYZ, получим:
; 
; 
(2)
Эта теорема в скалярной форме: производная от момента количества движения точки относительно некоторой оси по времени равна моменту силы, действующей на точку, относительна той же оси.
Частные случаи
1. Если>
, то
,
так как>
. (3)
2. Когда точка движется
под действием силы, линия действия которой все время проходит через один и тот
же неподвижный центр, то такая сила называется центральной, а который сила, центром
силы (рис. 41). Тогда>
.
Если 
, то 
. (4)
Для того, чтобы вектор> не менял ни величины, ни направления необходимо, чтобы
векторы 
и все время находились в одной плоскости и
Рис.
41>
.
Отсюда следует, что под действием центральной силы точка движется по плоской траектории. Примером такой является сила притяжения планет к Солнцу или спутника Земле. Оба случая объединяются в одном законе - сохранения момента количества движения.
Порядок решения задач с помощью теоремы об изменении количества движения материальной точки
1. Выбрать систему координат (при движении точки по дуге окружности следует одну из осей направить через центр окружности перпендикулярно к ее плоскости).
2. Изобразить на рисунке силы, приложенные к материальной точке, т.е. активные силы и реакции связей (применив закон освобождаемости от связей).
3. Вычислить суммы моментов сил, приложенных к материальной точке, относительно осей координат.
4. Изобразить вектор количества движения материально!! точки, записать выражение его моментов относительно неподвижных осей координат и взять от них производные по времени.
5. Подставить результаты подсчетов двух предыдущих пунктов решения задачи в уравнения теоремы об изменении момента количества движения материальной точки.
6. Решить в соответствии с условием прямую либо обратную задачу динамики точки.
Последовательность решения задач при сохранении момента количества движения материальной точки
1. Выбрать центр, относительно которого необходимо применить теорему об изменении момента количества движения материальной точки (при движении под действием центральной силы следует брать центр силы).
2. Изобразить на рисунке все активные силы и реакции связей, приложенные к материальной точке.
3. Определить вектор количества движения материальной точки, найти момент этой точки относительно выбранного центра.
4. Применить теорему
об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра
и, проверив, что сумма моментов всех сил равна нулю, приравнять моменты количеств
в ее начальном и конечном положениях:>
. Из этого уравнения определить искомую величину. В некоторых
задачах приходится пользоваться этой теоремой относительно одной из осей координат.
Например, если , то, тогда 
.
Контрольные вопросы и задания к теме 7
№61. Чему равен момент количества движения точки М относительно оси z, если>g= 0°
1.>
2.>
.
3.>
.
4. Все ответы верны.
Рис. 42
Примеры.
Классификация плоских механизмов по системе Л.В.Ассура.(Принцип образования плоских механизмов). Согласно идее Л.В.Ассура, механизмы состоят из отдельных кинематических цепей- структурных групп (групп Ассура), степень свободы которых равна нулю (W=0).
Кроме того, механизм должен содержать только кинематические пары 5 класса (р5), если же есть пары 4 класса (р4), то одну пару р4 заменяют на звено и две пары р5 . Полученный после такой замены механизм называют заменяющим.
Так как W=0, р4=0, то из формулы Чебышева следует:
3n-2p5=0
p5=3n/2
|
n | 2 | 4 | 6 | 8 |
| p5 | 3 | 6 | 9 | 12 |
Структурная группа- это кинематическая цепь, степень свободы которой равна нулю и она не должна распадаться на более простые кинематические цепи, удовлетворяющие этому условию. Число звеньев в структурной группе должно быть четным, а число пар пятого класса кратно трем.
Примеры.
Структурная группа I класса- это ведущее звено со стойкой, соединенные парой пятого класса (W=1) (рис.1).
Структурная группа II класса состоит из двух звеньев и трех кинематических пятого класса ( вращательные или поступательные).
Начиная с III класса, номер группе присваивается в зависимости от числа внутренних кинематических пар (внешние кинематические пары служат для соединения с другими группами).
Рис.1
