Тема 2. Теорема сложения ускорений
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме двух ускорений: переносного и относительного, если переносное движение является поступательным.
Доказательство. Рассмотрим
сложное движение точки М такое, при котором подвижная система движется только
поступательно. Будем определять положение в подвижной системе вектором>
; в неподвижной системе — вектором 
; а начало подвижной системы О1 определим относительно
неподвижных осей XYZ вектором 
(рис. 15). Получим векторный треугольник,
из которого видно, что
>
(2)
или>
. (3)
Из кинематики точки известно,
что ускорение (вектор) определяется второй производной от радиуса-вектора по времени,
поэтому продифференцируем полученное равенство (3) дважды учитывая, подвижная
система движется только поступательно, т.е. векторы>
не изменяются, получим
; (4)
. (5)
Рассмотрим полученное равенство (5):
,
так как>
определяет положение точки в неподвижной
системе;
,
так как подвижная система движется поступательно и ускорение точки О1 есть системы O1X1Y1Z1. И, наконец,
есть разложение вектора>
, по подвижным осям, т.е. относительное ускорение.
Таким образом,
,
т.е. теорема доказана.
Вектор>
определится по правилу параллелограмма
(рис. 16):
или по проекциям на оси XYZ:
>
; (8)
где
Направление найдем по направляющим косинусам:
>
Доказанная теорема справедлива только для поступательного переносного движения. Если переносное движение непоступательное, находить абсолютное ускорение по теореме сложения ускорений нельзя. В этом случае пользуются теоремой 2 — Кориолиса, доказанной им в 1836 г.
Теорема. При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и кориолисова.
Доказательство. Докажем теорему для частного случая, когда переносное движение есть вращение вокруг неподвижной оси.
Итак, рассмотрим движение точки
М относительно такой системы O1X1Y1Z1, которая вращается относительно некоторой
оси O1P c угловой скоростью 
. Положение точки в подвижной системе определим
вектором 
, в неподвижной — , и начало подвижной системы О1 относительно
неподвижной определим вектором (рис. 17). Получим векторный
треугольник ОМО1, из которого , но
, поэтому , где х1; у1; z1 — координаты точки
М в подвижной системе; i1; j1; k1 — орты этой системы.
Чтобы получить вектор>, продифференцируем дважды по времени последнее равенство:
.
Так как точка движется в подвижной
системе, то ее координаты х1; у1; z1 есть функции времени, т. е. переменные величины,
а орты>
=1 при вращении системы X1;Y1;Z1 вокруг оси О1Р изменяют
свое направление и, следовательно, тоже являются переменными величинами, поэтому
берем производные сначала от координат х1; у1; z1, потом от орт .
Еще раз дифференцируем:
Здесь>,
— радиус-вектор точки M в неподвижной системе;
— разложение вектора по подвижным осям.
Далее
.
Эта группа представляет ускорение точки
М в движении ее вместе с подвижной системой. Чтобы этом убедиться, проделаем следующее:
мысленно остановим относительное точки, тогда точка будет участвовать только одном
системой координат и переносное (при остановленном относительном движении) одновременно
абсолютным ускорением, т. е.>
, при неизменных х1; у1; z1.
Но
Выражения во второй и третьей скобках
при этом обратятся в нули, так как>
теперь постоянны. Точка в неподвижной системе
не движется.
Осталось еще одно выражение, которое мы не определили:
.
Это будет по размерности вектор ускорения, он и называется ускорением Кориолиса. Итак,
>
,
(9)
т.е. теорема доказана.
Вектор>
в этом случае лучше определить по
его проекциям на неподвижные оси XYZ :
>
,
(10)
где
Направление> найдем по направляющим косинусам.
Рассмотрим выражение (10), которое определило вектор>
:
.
Здесь>
— проекции скорости 
на подвижные оси;
— производные от единичных векторов 
по времени.
Найдем эти производные. Для этого
вспомним основную формулу кинематики — Эйлера, согласно которой линейную скорость
точки вращающегося тела можно представить в виде векторного произведения угловой
скорости вращения и радиуса-вектора данной точки, проведенного из какого-либо
центра, лежащего на оси вращения, т.е.>
.
Если векторы> рассмотреть как радиусы-векторы точек,
лежащих на их концах, то соответственно производные от них по времени будут (как
известно из кинематики точки) скоростями этих точек. Но в данный момент времени
подвижная система и орты вместе с ней участвуют во вращательном движении вокруг
оси O1P c угловой скоростью , и, следовательно, скорости точек,
лежащих на концах , будут линейными скоростями, которые по формуле Эйлера
можно представить так:
; 
; 
.
Тогда
>
где>
— разложение вектора относительной
скорости по подвижным осям;
>
.
(11)
