Центр масс системы
Когда система состоит из очень большого числа точек, то изучить ее движение сложно и даже иногда невозможно. В таких случаях рассматривается всей системы как одного целого. С этой целью вводится понятие центра масс.
Пусть имеем систему, состоящую из n материальных точек массами>
весом 
, данная система находится под действием только
сил тяжести.
Из курса статики известно, что все эти силы>
можно заменить одной силой, приложенной в точке С, называемой
центром параллельных сил. Координаты этой точки определяются по формулам:
,
(1)
где Pj = mjg, a xj ,yj , zj — координаты точки Аj.
Заменим Pj в формулах (1) его значением, координаты примут вид
,
(2)
где>
(масса всех точек системы), получим
(3)
Эти формулы (3) определяют точку С, положение которой уже не зависит от сил, действующих на систему, а лишь положения материальных точек системы и их масс. Точка С называется центром масс системы.
Следовательно, центром масс системы называется геометрическая точка С координаты которой определяются по формулам (3).
Итак, центр масс — это точка фиктивная, воображаемая,
не связанная ни с какой материальной массой, и вводят понятие, как уже говорилось,
для того, чтобы упростить решение задач динамики системы. Если учесть, что xC
, yC zC проекции вектора>
(радиус-вектора точки С), то можно записать, зная xC
, yC , zC :
,
(4)
где>
— радиус-вектор точки Аj .
Положение точки С можно определить или ее координатами по формулам (3) радиус-вектором формуле (4).
Примечание. В поле силы тяжести центр масс системы совпадает с ее центром (для неизменяемой системы). Но, если существует только для системы, находящейся в тяжести, то любой любом пространстве, и положение его не зависит от сил, действующих на систему. Таким образом, понятие центра являются тождественным понятиями. Центр является частным случаем по отношению к понятию масс.
Момент инерции
Положение центра масс не полностью характеризует распределение системы. Поэтому для более полной характеристики распределения вводится еще одно понятие — так называемый момент инерции системы, он системы относительно некоторой точки или оси. Впервые это встречается в работах Гюйгенса (1673 г.), но термин и определение момента дано Л. Эйлером (1749 г.).
Моментом инерции системы
материальных точек относительно данной точки О (оси Z или плоскости П) называется
скалярная величина, равная сумме произведений масс всех на квадраты их расстояний
до Z, П). Обозначая моменты>
, оси Z
, плоскости П
, имеем:
,
(5)
где mj — масса точки Аj ; rj , hj dj соответствующие расстояния до данной О, оси Z, плоскости П.
Чтобы вычислить момент инерции твердого тела относительно данной точки или оси, необходимо разбить тело на очень большое конечное число элементарных частей и определить приближенный по формулам (5). Затем, чтобы получить более точное значение момента инерции, нужно предел приближенного предполагая, что n частей, которые разбито тело, стремится к бесконечности, а масса mj каждой части — нулю.
Например, момент инерции тела относительно
точки О>
(приближенно), более точно 
Если тело однородное и имеет правильную геометрическую форму, то его момент инерции можно вычислить с помощью определенного интеграла. же неоднородное сложную определяется опытным путем.
Структурная группа звеньев с тремя вращательными кинематическими парами (рис. 8.1, а):
1. Сумма всех моментов сил, действующих относительно
центра средней кинематической пары B на звено 2, приравнивается нулю: 
.
Вычисляется тангенциальная составляющая реакции во вращательной паре А - 
.
2. Сумма всех моментов сил, действующих
относительно центра средней кинематической пары B на звено 3, приравнивается нулю:
. Вычисляется тангенциальная составляющая
реакции во вращательной паре
C - 
.
3. Векторная сумма всех сил, действующих на звенья 2 и 3, приравнивается нулю:
. В соответствии с уравнением в масштабе сил строится
план сил, на котором находят нормальные составляющие реакций и полные реакции
в крайних кинематических парах А и С: 
, 
, 
и 
.
4. Векторная сумма всех сил, действующих на
звено 2, приравнивается нулю: . В соответствии с уравнением в масштабе
сил строится
план сил, на котором находят реакцию в средней кинематической паре В: 
.
Структурная группа звеньев с крайней поступательной и двумя вращательными кинематическими парами (рис. 8.1,б):
1. Сумма всех моментов сил, действующих относительно центра средней кинематической пары С на звено 2, приравнивается нулю:
Рис. 8.1. Схемы структурных групп звеньев
.
Вычисляется тангенциальная составляющая реакции во вращательной паре А - .
2. Векторная сумма всех сил,
действующих на звенья 2 и 3, приравнивается нулю: . В соответствии с уравнением в масштабе сил строится
план сил, на котором находят нормальную составляющую реакции и полную реакцию
в крайней вращательной кинематической паре А и реакцию в поступательной паре Д:
, и .
3. Векторная сумма всех сил, действующих на
звено 3, приравнивается нулю: . В соответствии с уравнением в масштабе сил строится
план сил, на котором находят реакцию 
в кинематической паре С (см. рис.8.1,б).
4. Сумма
всех моментов сил, действующих относительно центра средней кинематической пары
С на звено 3, приравнивается нулю: .
Вычисляется плечо реакции , действующей
в поступательной паре Д, относительно точки С - 
.
