ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ
Кинетическим моментом системы или главным количеств движения относительно некоторого
центра О называется вектор>
, равный геометрической сумме векторов моментов количеств
движения всех точек системы относительно того же центра:
(1)
Проекции вектора> на оси Оxyz —
называются кинетическими моментами системы относительно осей координат.
Кинетическим моментом системы относительно оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно той же оси:
; 
; 
(2)
Вычислим кинетический момент тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью>
(рис. 28).
Разобьем тело на отдельные материальные
точки и возьмем одну>
массой 
. Ее расстояние до оси 
— 
, количество движения 
. Найдем момент 
, где 
. Тогда 
. По определению 
.
Итак,>
(3)
Вывод. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции этой на угловую скорость тела.
Вычислим кинетический момент тела относительно оси С, перпендикулярной к плоскости движения Oхy и проходящей через его центр масс С.
Пусть плоская
фигура S движется в своей плоскости Охy (рис. 29). Найдем>
— кинетический момент фигуры относительно
С 
. Найдем 
, так как 
, то 
.
Тогда 
, (8)
где>
— момент инерции тела относительно
оси С.
Сравнивая выражение (3) и (4), видим, что кинетический момент относительно осей Oz С одинаков.
Рассмотрим теорему об изменении кинетического момента системы в абсолютном движении.
Пусть имеем систему, состоящую из n точек.
Возьмем произвольную точку массой>
и запишем для нее теорему об изменении момента
количества движения точки в векторной форме 
(
). Точка взята из системы, значит
и 
. Подобные равенства напишем для каждой из
n точек системы и все их просуммируем. В результат получим 
; по свойству внутренних сил 
Внесем знак
под знак производной:
, но 
(по определению).
Имеем
.
(5)
Равенство (5) выражает теорему об изменении кинетического момента системы в векторной форме: производная от относительно некоторого центра по времени равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему того центра.
Спроектировав равенство (5) на оси координат, получим
; 
; 
.
(6)
Равенства (6) выражают рассматриваемую теорему в скалярной форме: производная о кинетического момента системы относительно некоторой оси по времени равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему той же оси.
Частные случаи
Если>
, то 
отсюда закон сохранения кинетического
момента системы относительно центра О.
Если>
, то 
, закон сохранения кинетического
момента системы относительно оси z
Теперь рассмотрим теорему об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс.
Пусть Оxyz — неподвижные оси, относительно которых перемещается система с центром масс С, оси Сx’y’z’ перемещаются поступательно вместе с центром масс С системы (рис. 30), при этом оси Cx’y’z’ имеют ускорение
, равное ускорению центра масс. Докажем, что
теорема об изменении кинетического момента системы в выбранной неинерциальной
системе координат будет иметь тот же вид, что и в неподвижной инерциальной системе
координат.
Изучая динамику относительного движения, выяснили, что в
инерциальных осях Cx’y’z’ все уравнения динамики можно составлять так же, как
и неподвижных осях, если к действующим на каждую точку Aj системы силам>
и 
прибавить переносную силу инерции 
и кориолисову силу инерции 
.
В данном случае переносное движение осей Cx’y’z’ поступательное и 
, а 
. Уравнение (5) в осях Cx’y’z’ примет
вид
>
. (7)
Но
по свойству внутренних сил>
. По определению кинетического момента системы 
,
где>
— скорость в подвижной системе Cx’y’z’.
Вычислим>
.
Но точка С есть начало
координатных осей Cx’y’z’. Поэтому>
и 
. Тогда 
.
Теперь уравнение (7) примет вид
(8)
Сравнивая этот результат с уравнением (5), видим, что для осей, движущихся поступательно вместе центром масс системы, теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра сохраняет тот же вид, и неподвижного центра.
Пример 1. Груз В весом P1 поднимается при помощи ворота силой G (рис. 31). Вес барабана P2 радиус R, длина рукоятки ОА = l. Определить ускорение груза В. Барабан считать сплошным однородным цилиндром.
Система
состоит из груза, нити, барабана с рукояткой. На данную систему действуют внешние
силы:>
. По теореме об изменении кинетического
момента системы
. Найдем 
. Заменим 
, получим 
. Дифференцируя 
, находим, что
. Но .
Тогда>
откуда 
.
Порядок решения задач с помощью теоремы об изменении кинетического
момента системы
Направить одну из осей координат вдоль неподвижной оси вращения z.
Записать теорему об изменении главного момента количеств движения системы
относительно соответствующей оси:>
.
Изобразить на рисунке все внешние силы системы.
Вычислить главный момент внешних сил относительно неподвижной оси z
Вычислить кинетический момент системы относительно оси z, затем взять его производную по времени.
Подставить результаты пп.4 и 5 в п.2 затем, зависимости от условия, решить прямую либо обратную задачу динамики.
Последовательность решения задач с помощью закона сохранения
кинетического момента системы
Выбрать координатные оси, направив одну из них вдоль неподвижной оси вращения.
Записать теорему об изменении кинетического момента системы материальных точек
относительно выбранной оси, например,>.
Изобразить на рисунке все внешние силы системы.
Показать, что сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси z равна нулю.
Вычислить и приравнять кинетические моменты системы материальных
точек относительно оси z в начальный конечный момент времени:>
.
Решить уравнение>,
определить искомую величину.
