Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Тройные интегралы в сферических координатах

Пример Найти тройной интеграл где область U ограничена эллипсоидом

Решение. Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных: Модуль якобиана данного преобразования равен |I| = abcρ²sin θ. Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение В новых координатах интеграл принимает вид: В данной системе координат область интегрирования U' (являющаяся эллипсоидом) определяется неравенствами Тогда тройной интеграл становится равным

Пример.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль.

Таким образом:

3x3 — 4x2 — 17x + 6 = (x — 3)(3x2 + 5x — 2) = (x — 3)(x + 2 )(3x — 1).

Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае — 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

=