Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

1. Интегралы вида Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность:

• 
• 
• 

2. Интегралы вида Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:

1. Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка .
2. Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка .
3. Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

3. Интегралы вида Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения и формулы редукции 4. Интегралы вида Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения и формулы редукции 5. Интегралы вида Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции: 6. Интегралы вида Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы 7. Интегралы вида

1. Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения секанс выражается через тангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x.
2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x.
3. Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы . Затем вычисляются интегралы от секанса.

8. Интегралы вида

1. Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения косеканс выражается через котангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x.
2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x.
3. Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы . Далее вычисляются интегралы от косеканса.