Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Поверхностные интегралы первого рода

Пример Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

Решение. Запишем уравнение плоскости в виде Найдем частные производные Применяя формулу поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл: Область интегрирования D представляет собой треугольник, показанный выше на рисунке 2. Вычисляем окончательно заданный интеграл:

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Рассмотрим теперь несколько примеров, связанных с вычислением двойных интегралов.

Примеры. 1) Найдём двойной интеграл от функции

по прямоугольной области D

Геометрически I выражает объём четырёхугольной призмы

(рис.12), основанием которой служит прямоугольник D, усечённый плоскостью .

Возьмём повторный интеграл сначала по y, затем по x:

То же самое получим, интегрируя сначала по x, а затем по y: