Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .

Решение. Воспользуемся формулой Проекция D(x,y) параболической поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиусом 1 с центром в начале координат. Следовательно, можно записать Переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем Сделаем подстановку . Тогда . Здесь u = 1 при r = 0, и при r = 1. Следовательно, интеграл равен

Заменяя в этой формуле S(x) её выражением, окончательно получим

или в более удобной форме

(А)

Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают границы изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго аргумента х. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указывают границы, в которых может изменяться аргумент х.

Меняя роли х и у, т. е. рассматривая сечения тела плоскостями y=const , мы найдем сначала, что площадь Q(у) такого сечения равна , где у при интегрировании считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(у) в пределах измене­ния у, т. е. от c до d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла

(Б)

Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у.