Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти центр масс части сферической оболочки , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ₀.

Решение. Очевидно, масса данной части сферы (рисунок 3) равна

Рис.3		Рис.4

Вычислим момент первого порядка M_yz. где проекция D(x,y) поверхности на плоскость xy представляет собой часть круга, лежащую в первом квадранте (рисунок 4). Поскольку то Отсюда находим выражение для момента первого порядка M_yz: Далее удобнее преобразовать интеграл в полярные координаты: Вычислим первый интеграл в квадратных скобках. Сделаем замену: . При r = 0 имеем t = 0, а при r = a, соответственно, . Тогда интеграл будет равен Второй интеграл имеет значение Таким образом, момент первого порядка M_yz равен Отсюда находим координату x_c центра масс: В силу симметрии, другие координаты имеют то же самое значение. Итак, координаты центра масс оболочки имеют вид