Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x² + y² + z² = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ₀ относительно оси Oz.

Решение. Момент инерции I_z находится по формуле: где поверхность S − это полусфера x² + y² + z² = 1 (z ≥ 0). Поскольку поверхность верхней полусферы описывается функцией , то элемент площади равен Тогда поверхностный интеграл выражается через двойной интеграл в виде где область интегрирования D(x,y) представляет собой круг . Переходя к полярным координатам, получаем FIX Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: . Если r = 0, то t = 1. Если r = 1, то, наоборот, t = 0. В результате можно окончательно вычислить момент инерции:

Пример . Найти площадь той части поверхности цилиндра которая вырезается цилиндром

Рис.22 Рис.23

Решение. На рис.23 изображена часть искомой поверхности. Уравнение поверхности имеет вид ; поэтому

Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е. определяется условиями

Следовательно,