Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.

Решение. В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения. Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна Вектор показывает направление действия силы . Абсолютное значение силы равно

Пример Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью (м·с⁻¹), где − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа (рисунок 7). Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.

Решение. Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл Так как векторы и сонаправлены, то поток равен Переходя к полярным координатам, получаем Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая можно записать Таким образом, поток жидкости равен

Рис.7		Рис.8

Пример Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно распределенным зарядом плотностью σ.

Решение. В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины. Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H (рисунок 8). Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно, , где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен . Тогда по теореме Гаусса получаем