Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения тройных интегралов

Пример Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Решение. Введем систему координат таким образом, чтобы полушар был расположен при z ≥ 0 и имел центр в начале координат (рисунок 1).

Рис.1		Рис.2

В данной системе координат будем искать координаты центроида (центра тяжести) тела. Очевидно, что в силу симметрии Вычислим координату центра тяжести по формуле Поскольку полушар однородный, то полагаем ρ(x,y,z) = ρ₀. Тогда В знаменателе через V обозначен объем полушара, равный Остается вычислить тройной интеграл . Для этого перейдем к сферическим координатам. При этом радиальную координату будем обозначать через r − чтобы не путать с плотностью ρ. Получаем: Таким образом, координата центра тяжести равна