Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Физические приложения тройных интегралов

Пример Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Решение. По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar², где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:

Пример Найти момент инерции прямого круглого однородного конуса относительно его оси. Конус имеет радиус основания R, высоту H и общую массу m (рисунок 3).

Рис.3

Решение. Момент инерции тела относительно оси Oz выражается формулой Поскольку конус является однородным, то плотность γ(x,y,z) = γ₀ можно вынести за знак интеграла: Перейдем к цилиндрическим координатам с помощью замены Новые переменные изменяются в пределах Тогда момент инерции равен Выразим плотность γ₀ через известную массу конуса m. Так как то, следовательно Окончательно получаем Интересно, что момент инерции конуса не зависит от его высоты.