Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Теорема Стокса

Пример Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

Решение. Обозначим через S поверхность, ограниченную замкнутой кривой C. Применяя формулу Стокса, можно записать Тогда Следовательно, находим значение криволинейного интеграла: Утверждение доказано.

Пример Используя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл , где кривая C образована пересечением сферы плоскостью .

Решение. Обозначим через S круг, вырезаемый из заданной плоскости при пересечении со сферой. Определим координаты единичного вектора нормали к поверхности S: В нашем случае Следовательно, ротор вектора равен По теореме Стокса получаем Поскольку центр сферы находится в начале координат, а плоскость также проходит через начало координат, то сечением будет являться круг радиусом 1. Тогда интеграл имеет значение