Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Теорема Стокса

Пример Найти интеграл с использованием теоремы Стокса. Кривая C образована пересечением параболоида с плоскостью . (рисунок 4).

Решение. Пусть S будет часть плоскости, вырезанная параболоидом. Ориентация поверхности S и направление обхода контура C показаны на рисунке 4. Из уравнения плоскости найдем вектор нормали : Так как то ротор векторного поля равен По теореме Стокса находим Поскольку , то интеграл становится равным Чтобы завершить расчеты, нужно определить двойной интеграл , то есть найти площадь поверхности S. Явное уравнение плоскости имеет вид . Поэтому, по формуле где D(x,y) − это проекция S на плоскость xy, получаем Определим область интегрирования D(x,y). Решая систему уравнений находим Как видно, область D(x,y) − это круг радиуса с центром в точке . Тогда площадь области D(x,y) равна Отсюда находим окончательное значение интеграла: