Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Поверхностные интегралы первого рода

Пример Вычислить интеграл , где S представляет собой полную поверхность конуса .

Решение. Обозначим через S₁ боковую поверхность конуса, и через S₂ − его основание. Запишем данный интеграл в виде суммы двух интегралов Найдем сначала первый интеграл I₁, используя формулу Частные производные здесь равны Тогда Поскольку z = 2 для основания конуса, то область интегрирования D (x,y) определяется неравенством z² + y² ≤ 4 (рисунок 3). Следовательно, интеграл I₁ записывается в виде Его легко вычислить в полярных координатах: Рассмотрим теперь второй интеграл I₂. Уравнение основания конуса имеет вид z = 2. Поэтому, где равно площади основания . Тогда Таким образом, полное значение поверхностного интеграла равно

Рис.3		Рис.4