Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Поверхностные интегралы первого рода

Пример Найти интеграл , где поверхность S − часть сферы , лежащая в первом октанте.

Решение. Данный интеграл удобно вычислять в сферических координатах. Элемент площади в сферических координатах имеет вид . Поскольку , то интеграл можно записать в следующей форме: Область интегрирования определяется как Следовательно, интеграл равен

Пример Найти интеграл , где S − часть цилиндрической поверхности, заданной параметрически в виде .

Решение. Вычислим частные производные: и их векторное произведение Тогда, элемент площади заданной поверхности равен Теперь можно вычислить поверхностный интеграл:

Вычислим объём V тела, ограниченного поверхностью и плоскостью Oxy.

Заданное тело представляет собой сегмент эллиптического

параболоида, расположенный над плоскостью Оху (рис.15). Параболоид пересекается с плоско­стью Оху по эллипсу

Следовательно, задача состоит в отыскании объема цилиндрического тела, имеющего своим основанием внутренность указанного эллипса и ограниченного параболоидом

В силу симметрии тела относи­тельно плоскостей Oxz и Oyz можно вычислить объем четвертой его части, заключенной в первом координатном угле. Этот объем равен двойному интегралу, распространенному по области, заданной условиями т. е. по четверти эллипса. Интегрируя сначала по у, затем по х, получим

Подстановка даёт

откуда