Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Тройные интегралы в цилиндрических координатах

Пример Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла

Рис.6		Рис.7

Решение. Область интегрирования U изображена на рисунке 6. Ее проекция на плоскость Oxy представляет собой круг x² + y² = 2² (рисунок 7). Новые переменные в цилиндрических координатах будут изменяться в пределах Подставляя x = ρ cos φ и y = ρ sin φ, найдем значение интеграла:

Моменты инерции пластинки.

Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.

Метод составления выражений для моментов инерции пластинки относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные результаты, считая, что :

Отметим еще, что интеграл называется центробежным моментом инерции; он обозначается .

В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала координат будет равен