Полное приращение и полный дифференциал ФНП
Полным приращением
функции двух переменных z = f (x, y) в точке (x, y), вызванным
приращениями аргументов 
и 
, называется выражение 
.
Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x, y), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое полное приращение функции.
Если обозначить
– расстояние между близкими точками 
и (х, у), то 
– это определение непрерывности ФНП
на языке приращений.
Если функция z = f (x, y) непрерывна в любой точке (х, у)ÎD, то она называется непрерывной ФНП в области D.
Функция z = f (x, y), полное приращение
Dz которой в данной точке (x, y)
может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно
и , и величины, бесконечно малой более
высокого порядка малости относительно 
, называется дифференцируемой ФНП в данной точке, а линейная
часть ее полного приращения называется полным дифференциалом ФНП.
Если
, где 
–бесконечно малые при 
, то полный дифференциал функции z = f (x, y)
выражается формулой: 
, или:
(1)
(приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами: Dх = dx, Dy = dy).
Из определения полного дифференциала
следует его связь с полным приращением: при малых и полное приращение функции Dz примерно равно ее полному дифференциалу:
с точностью до бесконечно малых более
высокого порядка малости относительно .
Полный дифференциал функции z = f (x, y)
зависит как от точки M(x0, y0), в которой он вычисляется, так и от приращений
и .
Производные ФНП высших порядков
Пусть
функция z = f (x, y) имеет в точке (x, y) и её окрестности
непрерывные частные производные первого порядка 
и 
. Так как и являются функциями тех же аргументов x и y, то их можно
дифференцировать по x и по y. При этом возможны следующие 4 варианта:
– эти частные производные называются частными производными второго порядка от функции z (x, y).
Частные производные 
и 
называются смешанными частными производными второго порядка.
Пример.
Дана ФНП 
. Вычислим все её частные производные второго порядка.
Основное
свойство смешанных частных производных: если функция z = f (x, y)
и её частные производные 
, 
, и определены и непрерывны в точке (x, y) и некоторой
её окрестности, то в этой точке =, то есть смешанные частные производные при условии их
непрерывности не зависят от порядка, в котором производится дифференцирование.
| На главную сайта Dvoika.net |