Частные производные ФНП, заданной неявно
Если каждой паре
чисел (x, y) из некоторой области D
xOy соответствует одно или несколько
значений z, удовлетворяющих уравнению 
, то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных,
например, функцию 
.
Если существуют частные производные функции F(x, y, z):
и 
, то существуют частные производные от функции
z (x, y), которые можно вычислить по формулам:
.
(2)
Пример. Дано: 
. Найти 
и 
.
Здесь 
. По формулам (2) находим:
Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например:
.
(3)
Производная сложной ФНП. Полная производная
Пусть функция z=
f (x, y, t) — функция трех переменных x, y и t, причем x и y, в
свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда 
– это сложная функция одной переменной t, а x и y — промежуточные переменные.
Полной
производной по переменной t сложной ФНП называется её производная 
,
вычисленная как производная функции одной переменной t в предположении, что переменные
x и y также являются функциями от t, то есть при x = x(t) и y = y(t).
Полная производная вычисляется по формуле:
.
(4)
Здесь 
– это полная производная функции z по переменной t при
условии, что все другие переменные зависят от t; 
– это частная производная функции
z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые переменные,
кроме t. При нахождении зависимость переменных x, y от t не учитывается.
В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.
| На главную сайта Dvoika.net |