Экстремумы ФНП
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Говорят,
что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0),
если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство
f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y)
из этой окрестности, отличных от (x0, y0): 
.
Если же f (x0, y0)
< f (x, y) для всех точек (x, y) из некоторой окрестности точки
(x0, y0), отличных от (x0, y0), то функция z имеет локальный минимум
ФНП в точке (x0, y0): 
.
Максимум
и минимум 
называют локальными экстремумами ФНП.
Необходимое условие экстремума ФНП: если функция z = f (x, y) имеет экстремум в точке (x0, y0), то каждая частная производная первого порядка функции z в точке (x0, y0) либо равна нулю, либо не существует.
Необходимое условие не является достаточным. Точки из ООФ, в которых необходимое условие выполнено, называются критическими точками функции, или точками, подозрительными на экстремум.
Если
(x0, y0) — это такая критическая точка, в которой 
и 
, то она называется ещё стационарной точкой
функции f (x, y).
Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области
Область D называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу, и открытой областью, если не включает свою границу.
По свойствам непрерывных функций, непрерывная ФНП z = f (x, y)
в замкнутой ограниченной области D
xOy достигает своих наибольшего и наименьшего значений
zнаиб = М. и zнаим = m, называемых глобальными экстремумами
ФНП в области D. Эти значения zнаиб. и zнаим. достигаются или в точках локальных
экстремумов функции z = f (x, y) внутри области D или на границе
этой области.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой ФНП в замкнутой ограниченной области D, нужно:
найти все стационарные точки функции f (x, y), лежащие внутри области D, и вычислить в них значения функции;
найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;
выбрать среди всех найденных значений наибольшее и наименьшее значения функции в области D.
Поскольку на границе области аргументы x и y связаны между собой уравнением границы, то граничное значение функции f (x, y) является функцией одной переменной, и ее исследование проводят по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке.
Если граница области D является кусочно-заданной, то необходимо исследовать граничное значение функции f (x, y) отдельно на каждом участке границы.
| На главную сайта Dvoika.net |