Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Графиком функции 2-х переменных z = f (x, y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость xOy в область определения функции D.
Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнением z = f (x, y), где f (x, y) — дифференцируемая функция, и пусть M0(x0, y0, z0) – фиксированная точка на поверхности σ, т.е. z0 = f (x0, y0).
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:
.
(5)
Вектор 
называется вектором нормали к поверхности σ в точке
М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости (рис. 1).
Нормалью к поверхности σ в точке М0 называется прямая, проходящая
через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости,
построенной в этой точке.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M0(x0, y0, z0), где z0 = f (x0, y0), имеют вид:
.
(6)
Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
Говорят, что в двумерной области D
xOy задано скалярное поле, если в каждой точке M(x, y) Î D
задана скалярная функция координат точки:
U(M) = U(x, y).
Пример: скалярное поле температур T(x, y) в области D.
Линии уровня скалярного поля — это такие линии, на каждой из которых функция U(x, y) сохраняет постоянное значение.
Уравнения линий уровня скалярного поля: U(x, y) = const.
Геометрически линии уровня получаются, если поверхность z = U(x, y) пересекать горизонтальными плоскостями z = С и проектировать линии пересечения на плоскость xOy.
Градиентом
скалярного поля U(x, y) в фиксированной точке 
называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными
функции, вычисленными в точке М0:
,
(7)
где векторы 
– это орты координатных осей.
Вектор градиента
направлен перпендикулярно касательной к линии уровня,
проходящей через точку М0. Направление градиента указывает направление наибольшего
роста функции U(x, y) в точке М0 .
Отложим от фиксированной точки
M0(x0, y0) некоторый вектор 
.
Скорость
изменения скалярного поля U(x, y) в направлении вектора характеризует
величина 
, называемая производной
по направлению.
Если в прямоугольной системе координат xОy вектор имеет направляющие косинусы cosa
и cosb, то производная функции U(x, y) по направлению
вектора в точке М0 — число 
– можно найти по формуле:
,
(8)
Напомним формулы для вычисления направляющих косинусов вектора 
:
,
где модуль вектора: 
.
Аналогично определяют скалярное поле U(M) в трехмерной области V:
U(M) = U(x, y, z),
. Поверхности уровня скалярного поля — это такие поверхности,
на каждой из которых функция U(x, y, z) сохраняет постоянное значение.
Уравнения поверхностей уровня скалярного поля: U(x, y, z) = const.
Градиент скалярного поля U(x, y, z) в произвольной точке M(x, y, z):
, (9)
где векторы
– это орты координатных осей.
Вектор 
поля U(x, y, z) направлен параллельно нормали
к поверхности уровня U(x, y, z) = const в точке М.
| На главную сайта Dvoika.net |