Функции комплексной переменной
Определение и свойства функции комплексной переменной
Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой — множество D комплексных чисел z = x + iy, где i — мнимая единица (i2 = –1), на второй — множество G комплексных чисел w = u +iv.
Если каждому
числу 
по некоторому правилу f поставлено в соответствие определенное
число 
, то говорят, что на множестве
D задана функция комплексной переменной (ФКП), отображающая множество D в множество
G. Обозначается: w = f (z).
Множество D называется областью определения ФКП.
Функцию w = f (z) можно представить в виде
f (z) = u(x, y) + iv(x, y),
где u(x, y) — действительная часть ФКП, v(x, y) — мнимая часть ФКП, обе они — действительные функции от x, y.
Пример
1. 
. Здесь 
= x — iy — число, сопряженное числу z= x+iy.
Выделим действительную и мнимую части ФКП:
u = x2 — y2 — 2x; v = 2xy + 2y.
Вычислим значение функции w в точке z1 = 2 — 3i:
.
Тот же результат получаем непосредственной подстановкой:
.
Говорят,
что ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) имеет предел в точке z0, равный
числу A = a + ib, если 
. Обозначается: 
.
Существование предела ФКП w = f (z) при
в означает существование двух пределов: 
.
ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) называется непрерывной в точке z0,
если выполняется условие: 
.
Непрерывность ФКП w = f (z) в точке z0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0, y0).
| На главную сайта Dvoika.net |