Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП
Производной от функции комплексной переменной w = f (z) в точке z0 называется предел:
,
где
, и 
произвольным образом.
Функцию w = f (z), дифференцируемую в точке z0 и некоторой ее окрестности, называют аналитической, или регулярной функцией в точке z0.
Точки, в которых ФКП не является аналитической, называют особыми точками этой функции.
Для того, чтобы функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) была аналитической в области D необходимо и достаточно, чтобы частные производные 1-го порядка функций u(x, y) и v(x, y) были непрерывны в этой области и выполнялись бы условия:
,
(10)
называемые условиями Эйлера-Даламбера, или условиями Коши-Римана.
Пример
2. Проверить аналитичность ФКП 
.
Þ u = x2 — y2 — 2x; v = 2xy + 2y
(см. пример 1). Проверим выполнение условий Коши-Римана:
.
Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.
Пример
3. Проверить аналитичность ФКП 
.
Выделим действительную и мнимую части функции:
.
Проверим выполнение условий Коши-Римана:
.
Условия
выполняются во всех точках, кроме особой точки (0, 0), в которой функции
и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция
аналитическая при 
.
Если
функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную 
можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные правилам дифференцирования
функции одной действительной переменной.
Пример 4. Вычислить значение производной
функции в точке
z0 = — 1+ i.
Функция
– аналитическая, а значит, дифференцируемая во всей своей
области определения (см. пример 3). Ее производная:
.
Вычислим значение производной в точке z0 = — 1+ i:
Следовательно,
.
Справочный материал к выполнению контрольной работы №2
| На главную сайта Dvoika.net |