Двойной интеграл
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Пусть функция 2-х переменных z = f (x, y) задана
и непрерывна в замкнутой области 
xOy. Двойной интеграл от этой функции по области D имеет
вид: 
, где 
.
Область
xOy называется правильной в направлении оси Oy, если всякая
прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области не более, чем в двух точках
(за исключением участков границы, параллельных Oy).
Если область D — правильная в направлении оси Oy (рис. 2),
то ее можно задать системой неравенств: 
В этом случае двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:
.
Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x — постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.
Пример. Вычислить 
, если 
, D:
Если область D — правильная в направлении оси Oх (рис. 3),
то она задается системой неравенств: 
и тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу
по формуле:
.
Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.
Если область D — правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:
.
Если область D — неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные
части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла: 
.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Пусть область D задается в полярных координатах системой
неравенств 
Такая область (рис.
4) является правильной в полярной системе координат (каждый луч, выходящий из
полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках, за исключением
участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).
Преобразование двойного интеграла по области D к полярным координатам осуществляется при помощи формул
:
.
Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:
.
| На главную сайта Dvoika.net |