Некоторые приложения двойных интегралов
Если подынтегральная функция f (x, y) º 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:
.
Если
область D занята тонкой пластинкой и 
– поверхностная плотность распределения неоднородного
материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно
вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат
и другие величины.
Масса пластинки: m = 
.
Статический момент относительно оси Ox:
.
(11)
Статический момент относительно оси Oy: My = 
.
Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.
Тройной интеграл
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z)
задана и непрерывна в замкнутой области V
xOyz. Тройной интеграл от этой функции по области V имеет
вид: 
, где 
.
Если область V — правильная в направлении оси Oz (рис. 5),
то ее можно задать системой неравенств: 
где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y)
– это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу
и сверху (рис. 5).
Если область D можно задать системой неравенств
то 
В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:
.
Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.
Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).
| На главную сайта Dvoika.net |