Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
Цилиндрические
координаты точки М в пространстве — это ее полярные координаты на плоскости xOy
и координата z, т.е. 
.
Преобразование тройного интеграла по
области V к цилиндрическим координатам осуществляется при помощи формул 
, 
, 
: 
.
Если область V задана системой неравенств:
причем 
то V: 
Вычисление тройного интеграла по области V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в соответствии с записанной системой неравенств для области V:
.
Некоторые приложения тройных интегралов
Если подынтегральная функция
f (x, y, z) º 1, то
тройной интеграл от нее по области V равен мере области интегрирования — объему
пространственного тела, занимающего область V: 
.
Если 
– это плотность неоднородного материала (т.е. масса единицы
объема), из которого изготовлено тело, то при помощи тройного интеграла можно
вычислить массу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей
и другие величины. Например, формула для вычисления массы тела имеет вид:
.
(12)
| На главную сайта Dvoika.net |