Векторное поле
5.1. Поток векторного поля через поверхность
Если
в любой точке M(x, y, z) области V
xOyz задан вектор 
, то говорят, что в области V задано
векторное поле 
.
Примеры: силовое поле 
, поле скоростей 
текущей жидкости, поле электростатических напряженностей
.
Векторное поле является
заданным, если задана векторная функция
от координат точки M(x, y, z). Как правило, функцию задают в виде 
, где P (x, y, z), Q (x, y, z),
R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области
V (область V может совпадать со всем пространством).
Аналогично определяют
плоское векторное поле в двумерной области D: 
.
Пусть в области VxOyz задана двусторонняя поверхность σ, в каждой
точке которой определен орт внешней нормали 
– единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности
в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной
поверхности.
Поток векторного поля 
через поверхность σ – это интеграл по поверхности
σ от скалярного произведения вектора 
на орт нормали 
к поверхности (рис. 6):
.
Поток
– это интегральная характеристика векторного поля, она является скалярной величиной.
Например, для поля скоростей текущей жидкости поток характеризует количество
жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали
в единицу времени.
Если поверхность σ задана уравнением F(x, y, z)
= 0, то вектор ее нормали коллинеарен градиенту функции, задающей поверхность:
, следовательно, орт нормали
.
Для вычисления поверхностного интеграла 
поверхность σ проектируют на одну из координатных
плоскостей, например, в область DxOy. Тогда 
, и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:
,
(16)
где знак «+» следует брать в случае, когда вектор 
и орт «внешней» нормали ,
указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны
по направлению, следует брать знак «–».
При вычислении двойного интеграла
нужно подынтегральную функцию выразить
через переменные x, y, используя заданное уравнение поверхности F(x, y, z)
= 0.
Поток вектора через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней»
нормали обозначают 
.
| На главную сайта Dvoika.net |