Соленоидальное векторное поле
Векторное поле 
называется соленоидальным, если существует такое векторное
поле 
, для которого поле является полем его роторов: 
.
Поле называется векторным потенциалом векторного поля .
Практически
соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если
во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля равна
нулю, то это векторное поле является соленоидальным.
Решение примерного варианта контрольной работы №1
Задача 1. Дана функция z = cos2(2x — y). Требуется:
1) найти частные производные 
и 
;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать,
что для данной функции справедливо равенство: 
.
Решение.
1) При нахождении
считаем аргумент y постоянным:
=
(cos2(2x — y))
= 2cos(2x — y)(cos(2x
– y)) =
= 2cos(2x — y)(–sin(2x
– y))(2x — y) = –2cos(2x — y)sin(2x — y)((2x) — (y)) =
= — 2cos(2x — y)sin(2x — y)(2 — 0) = –sin(2(2x — y))2 = –2sin(4x — 2y).
При нахождении 
считаем аргумент x постоянным:
= (cos2(2x — y))
= 2cos(2x — y)(cos(2x
– y)) =
= 2cos(2x — y)(–sin(2x
– y))(2x — y) = –2cos(2x — y)sin(2x — y)((2x) — (y)) =
= — sin(2(2x — y))(0 — 1) = sin(4x – 2y).
2) По формуле (1) находим полный дифференциал функции:
dz
= 
= –2sin(4x — 2y)dx + sin(4x — 2y)dy.
3) Найдем смешанные частные производные второго порядка.
Для того, чтобы найти 
, дифференцируем по у:
= 
= (–2sin(4x — 2y)) = [считаем x постоянным] =
=
– 2cos(4x — 2y)(4x — 2y) = — 2cos(4x — 2y)(0 — 2) = 4cos(4x — 2y).
Для
того, чтобы найти 
, дифференцируем по x:
= 
= (sin(4x — 2y)) = [считаем y постоянным] =
=
cos(4x — 2y)(4x — 2y) = cos(4x — 2y)(4 — 0) = 4cos(4x — 2y).
Получили:
= 4cos(4x — 2y), 
= 4cos(4x — 2y) 
.
Ответы: 1) = –2sin(4x — 2y); = sin(4x — 2y);
2) dz = –2sin(4x — 2y)dx + sin(4x – 2y)dy;
3) равенство 
выполнено.
| На главную сайта Dvoika.net |