Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 — xy + y2 — 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1,
x + y = 3. Требуется:
1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;
2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
Решение.
Для наглядности процесса решения построим область D в системе координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = –1 и x + y = 3. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 9).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z, сначала найдем все стационарные точки функции z = x2 — xy + y2 — 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции.
Стационарные точки — это точки, в которых все частные производные
1-го порядка равны нулю:
Решаем систему:
Стационарная
точка М(2, 0)
(рис. 9) и является внутренней точкой области.
Вычислим значение функции в этой точке:
.
Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Граница является кусочно-заданной, поэтому будем проводить исследование функции z (x, y) отдельно на каждом участке границы.
а) Уравнение участка АВ имеет вид:
и функция z является функцией одной переменной
у:
.
Исследуем поведение z1 (y) по правилам нахождения наибольшего
и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке. Как известно,
непрерывная функция на замкнутом промежутке достигает своих наибольшего и наименьшего
значений либо на концах промежутка, либо в стационарных точках внутри промежутка
(если они есть).
Исследуем поведение функции z1(y) на участке АВ: 
– стационарная точка на границе АВ,
совпадающая с левым концом промежутка. Сравнивая значения функции z1(A) = z1(–1)
= 4, z1(B) = z1(3) = 20, получаем: 
.
б) Уравнение участка АС имеет вид: 
и функция z является
функцией одной переменной x:
.
Исследуем
поведение функции z2(х) на участке АС: 
– стационарная точка на границе АС,
лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции z2(A) = z1(А) = 4, z2(С)
= z2(4) = 8 и z2(х0) = z2(1,5) =1,75, получаем: 
.
в) Уравнение участка ВС имеет вид:
и функция z является функцией одной переменной
х:
Исследуем
поведение функции z3(х) на участке ВС: 
– стационарная точка на границе ВС,
лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции
z3(В) = z1(В) = 20, z3(С) = z2(С) = 8 и z3(х1) = z3(2,5) =1,25,
получаем: 
.
Сравнивая все найденные значения функции, выбираем среди них наибольшее и наименьшее значения функции z (x, y) в области D:
zнаиб = z(В) = 20, zнаим = z(М) = 1.
2) Отметим на построенном ранее чертеже области D (рис. 9) точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения: В(0,3) и М(2,0), а также все найденные в процессе решения точки, указав значения функции z(x, y) в этих точках.
Ответы: 1) zнаиб = z(В) = z(0,3) = 20, zнаим = z(М) = z(2,0) = 1; 2) рисунок 9.
| На главную сайта Dvoika.net |