Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = 
+ xy — 5x3. Составить уравнения касательной
плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей
ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Решение.
Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим, используя формулы (5) и (6). Найдем частные производные функции
z = f (x, y) = + xy — 5x3:
(x,
y) = ( + xy — 5x3)
= — 
+ y — 15x2;
(x,
y) = ( + xy — 5x3)
= 
+ x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
z = + xy — 5x3 
z0 = 
+ (–1) 2 — 5 (–1)3 = 1.
Вычисляем значения частных производных в точке М0(–1, 2, 1):
(М0)
= –
+ 2 — 15(–1)2 = –15; (М0)
= 
– 1 = –2.
Пользуясь формулой (5), получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М0:
z — 1= –15(x + 1) — 2(y — 2) 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6),
получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М0: 
= 
= 
.
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x
+ 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: = = .
| На главную сайта Dvoika.net |