Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1)
и вектор 
. Требуется:
1) найти уравнения линий уровня поля;
2) найти градиент поля в точке M0 и
производную 
в точке M0 по направлению вектора
;
3) построить в системе
координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую через точку
M0, изобразить вектор 
на этом чертеже.
Решение.
1) Для U = x2 — 2y уравнение семейства линий уровня имеет вид
x2
– 2y = С или y = 
– 
, где С — произвольная постоянная. Это семейство парабол,
симметричных относительно оси Oy (ветви направлены вверх) с вершинами в точках
(0, — ).
Найдем частные производные функции U = x2 — 2y:
= (x2 — 2y)
= 2x, 
= (x2 — 2y)
= — 2.
В точке М0(1,–1) значения
частных производных:
, 
.
По формуле (7) находим градиент поля в точке M0:
.
Прежде, чем
найти производную по направлению вектора = = {2; — 1}, вычислим его модуль и
направляющие косинусы:
,
.
Производную поля по
направлению вектора в точке М0 вычисляем
по формуле (8):
.
3) Для построения линий уровня в системе координат xОy подставим
в уравнение семейства линий уровня y = – различные значения С:
при С = 0 получим y = 
– уравнение линии уровня, соответствующей значению U =
0;
при С = –2 получим y = + 1 (для U = –2);
при С = 2 получим y = – 1 (для U = 2);
при С = — 4 получим y = + 2, и т.д.
Получим уравнение линии уровня, проходящей
через точку М0(1,–1). Для этого вычислим значение функции U в этой точке: 
.
Построим эти линии в системе координат xОy (рис. 10).
Для построения градиента поля в точке M0 нужно отложить от точки
М0 проекции градиента в направлениях координатных осей и построить вектор 
по правилу параллелограмма.
В данном случае 
, поэтому откладываем от точки М0(1,– 1) две единицы вдоль
оси Ox, две единицы в направлении, противоположном оси Oy и получаем вектор 
как диагональ параллелограмма, построенного на векторах 
и 
(рис. 10).
Ответы: 1) x2 — 2y = С; 2) 
, 
;
3) линии уровня и 
на рисунке 10.
| На главную сайта Dvoika.net |