Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:
.
Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала
движения.
Решение.
Вектор-функция задана в виде: 
.
Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t), y(t) z(t) по аргументу t:
Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (14) и (15):
.
Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:
,
.
Ответы: 
, 
.
Задача 5. Дано векторное поле 
и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z — 3 = 0. Требуется:
найти
поток поля 
через плоскость треугольника АВС где А, В, и С — точки
пересечения плоскости d с координатными
осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»;
построить чертеж пирамиды ОАВС, где О — начало координат;
используя формулу
Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля
через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.
Решение.
Чтобы
вычислить поток поля через плоскость треугольника АВС используем формулу (16):
ПАВС =
, где D — проекция треугольника АВС на плоскость xOy,
F — функция, задающая плоскость d, которой
принадлежит треугольник АВС.
Для построения чертежа найдем точки А, В, и С пересечения плоскости d с координатными осями:
.
Построим чертеж пирамиды, отложив на координатных осях точки А, В, С и соединив их с началом координат O (рис. 12).
Из уравнения плоскости d:
3x + y + 2z — 3 = 0, которое имеет вид F(x, y, z) = 0, находим
.
Поскольку все три проекции градиента положительные, то этот вектор образует с координатными осями острые углы, т.е. направлен «от начала координат» по отношению к плоскости d.
Это означает, что вектор 
и орт «внешней» нормали 
, указанный в задаче, совпадают по направлению,
поэтому вычисление потока через плоскость треугольника АВС сводится к вычислению
двойного интеграла:
ПАВС = +
(перед интегралом ставим знак «+»), где AOВ — проекция
треугольника ABC на плоскость xOy.
Для расстановки пределов интегрирования по треугольнику AOВ (рис. 13) найдем уравнение прямой АВ на плоскости xOy:
Вычислим 
и получим подинтегральную функцию, подставив 
=
2 и 
(из уравнения плоскости):
.
Таким
образом, поток поля через плоскость треугольника АВС:
.
Вычислим внутренний интеграл по переменной y:
Вычислим внешний интеграл по переменной х:
.
2) Чтобы вычислить поток поля через полную поверхность пирамиды
ОАВС, воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:
.
Найдем дивергенцию этого поля по формуле (17): 
.
Для поля 
получаем:
.
Вычислим поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС:
,
где 
– объем пирамиды ОАВС. Этот
объем можно вычислить, следующим образом:
.
В
результате получаем: 
.
Ответы: 1) ПABC = 8,5, рисунок 12; 2) ПОАВС = –2,25.
| На главную сайта Dvoika.net |