Функция нескольких переменных и ее частные производные
Определение функции нескольких переменных
Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).
Обозначается: z = f (x, y) или z = z (x, y).
Пример. 
.
Аналогично определяются функции трёх и более переменных.
Примеры. 
– функция трёх переменных;
– функция n переменных.
Общее название: функции нескольких переменных (ФНП).
Частные производные ФНП
Ели одному из аргументов функции z
= f (x, y)
придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное
приращение по одному из аргументов: 
– это частное приращение
функции z по аргументу x; 
– это частное приращение
функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x;
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Пример. 
Þ
Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости
Пусть
область. Эта
область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром
, лежащем
в ограничиваемая
контуром область
также целиком
содержится в .
Пример односвязной области: круг.
Пример неодносвязной области: круг с выколотой
точкой. содержит
выколотую точку, а -
нет, следовательно не
входит в целиком.
Теорема
1. Пусть -
односвязная область, 
.
Условие, что 
равносильно
тому, что всюду в этой области 
.
Доказательство.
.
Если всюду в выполнено
равенство ,
то 
по формуле
Грина 
.
.
Предположим, что в области есть
точка 
,
в которой 
.
Пусть, для определенности, 
.
Тогда существует окрестность точки ,
в которой значения 
больше,
чем 
. Выберем
в этой окрестности окружность 
радиуса
и рассмотрим
.
По формуле Грина 
.
Это противоречит предположению о том, что должен
быть равен 0.
Определение. Пусть -
область, 
,
- контур.
Будем говорить, что 
не
зависит от формы пути в,
если 
-
контуров с началом в точке 
и
концом в точке 
,
.
Теорема
2. Пусть -
область. Условие независимости от
формы пути в равносильно
тому, что для любого замкнутого контура 
.
Доказательство.
- ().
Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть -
замкнутый контур в .
Выберем на две
произвольные точки и
и рассмотрим
соединяющие эти точки части контура ,
назовем их
.
При этом состоит
из 
и проходимого
в противоположном направлении контура 
.
По условию, .
Значит, 
. - ().
Пусть для любого контура
