Полное приращение и полный дифференциал ФНП
Полным приращением
функции двух переменных z = f (x, y)
в точке (x, y),
вызванным приращениями аргументов 
и 
, называется выражение 
.
Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x, y), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое полное приращение функции.
Если обозначить 
– расстояние между близкими точками 
и (х, у), то 
– это определение непрерывности ФНП на языке
приращений.
Если функция z = f (x, y) непрерывна в любой точке (х, у)ÎD, то она называется непрерывной ФНП в области D.
Функция z = f (x, y),
полное приращение Dz которой в данной точке (x, y) может
быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно
и ,
и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости относительно 
, называется дифференцируемой ФНП
в данной точке, а линейная часть ее полного приращения называется
полным дифференциалом
ФНП.
Если 
, где 
–бесконечно малые при 
, то полный дифференциал функции z = f (x, y)
выражается формулой: 
, или:
(1)
(приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами: Dх = dx, Dy = dy).
Из определения полного дифференциала
следует его связь с полным приращением: при малых и полное приращение функции Dz примерно
равно ее полному дифференциалу: 
с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости относительно .
Полный дифференциал функции z = f (x, y)
зависит как от точки M(x0, y0), в которой он вычисляется, так и от приращений
и .
В случае, если 
,
соединяющие точки 
не
имеют других общих точек, то, как и в предыдущей части, 
состоит
из 
и проходимой
в противоположном направлении 
.
Поэтому 
,
откуда 
.
Б)
Если имеют
конечное число общих точек, кроме 
и
, то можно
применить пункт 2А к каждому полученному контуру, интеграл по которому в связи
с предположением равен 0, и поэтому для каждой такой полученной части 
.
В)
Случай, когда кроме и
кривые имеют
бесконечное множество общих точек, мы оставим без доказательства.
Сопоставляя теорему 2 с теоремой 1, получаем следствие.
Следствие. Пусть 
-
односвязная область. 
не
зависит в от
формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда в этой области выполняется
тождество 
.
10.Признак полного дифференциала на плоскости
Если 
-
дифференцируемая функция двух переменных, то 
.
Выясним, при каких условиях на 
существует
такая функция 
,
что 
,
т.е. 
.
В предположении непрерывности смешанных производных: 
или
. Докажем,
что если -
односвязная область, то верно и обратное.
Теорема 3. Если в
односвязной области ,
то существует такая,
что 
.
Доказательство.
Возьмем произвольную точку 
и
рассмотрим переменную точку 
и
любую кривую 
,
соединяющую с
.
По
следствию теоремы 2, зависит
только от конечной точки и,
значит, есть некоторая функция .
Покажем, что -
искомая функция, т.е. .
Для этого рассмотрим точку 
и
рассмотрим 
,
где 
-
отрезок прямой, соединяющей точки 
.
На этом отрезке 
и
.
Применяя теорему о среднем, получаем (ввиду непрерывности 
),
что 
,
где 
.
Тогда 
.
.
Для 
доказательство
аналогичное.
Замечание. Если векторное поле 
обладает
свойством в
односвязной области ,
то говорят, что 
-
потенциальное поле и найденная функция такая,
что ,
т.е. 
,
называется потенциалом поля .
Следствие.
В потенциальном поле работа вдоль любого замкнутого контура равна 0. Вообще, если
соединяет
, то
работа вдоль
равна
.
Т.е. работа равна разности потенциалов.
Примечание. Условие односвязности существенно.
