Производные ФНП высших порядков
Пусть функция z = f (x, y) имеет в точке
(x, y)
и её окрестности непрерывные частные производные первого порядка 
и 
. Так как и являются функциями тех же аргументов
x и y, то их можно дифференцировать по x и по y.
При этом возможны следующие 4 варианта:
– эти частные производные называются частными производными второго порядка от функции z (x, y).
Частные
производные 
и
называются
смешанными
частными производными второго порядка.
Пример.
Дана ФНП 
. Вычислим
все её частные производные второго порядка.
Основное свойство смешанных частных производных: если функция z = f (x, y) и её частные производные
, 
,
и определены и непрерывны в точке (x, y) и некоторой её окрестности,
то в этой точке =, то есть смешанные частные производные
при условии их непрерывности не зависят от порядка, в котором производится
дифференцирование.
Например, если область
не
содержит начала координат, то 
.
Действительно,
,
.
Т.о.
условие 
выполнено
во всей области (которая
не содержит точки 
).
С
другой стороны, пусть содержит
. Рассмотрим
- окружность
радиуса 
,
содержащуюся в .
Параметризуем эту окружность: 
.
Тогда 
.
Это связано с тем, что область, в которой непрерывны 
многосвязная.
