Частные производные ФНП, заданной неявно
Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области D
xOy соответствует
одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению 
, то это уравнение неявно определяет
функцию 2-х переменных, например, функцию 
.
Если существуют частные производные функции
F(x, y, z):
и 
, то существуют частные производные
от функции z (x, y), которые можно вычислить
по формулам:
. (2)
Пример.
Дано: 
. Найти
и 
.
Здесь 
. По формулам (2) находим:
Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например:
. (3)
Производная сложной ФНП. Полная производная
Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных
x, y и t, причем x
и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда 
– это сложная функция одной переменной t, а x и y –
промежуточные переменные.
Полной производной по переменной t сложной ФНП называется её производная 
, вычисленная как производная
функции одной переменной t в предположении, что переменные x и y также являются функциями от t, то есть при x
= x(t) и y = y(t).
Полная производная вычисляется по формуле:
. (4)
Здесь 
– это полная производная функции z
по переменной t при условии, что все другие переменные зависят от t;
– это частная производная функции
z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые
переменные, кроме t. При нахождении зависимость переменных x, y от t не учитывается.
В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.
Площадь поверхности
Двусторонние поверхности. Рассмотрим сначала поверхность
,
представляющую собой график функции 
(1),
имеющей непрерывные частные производные для всех 
,
где 
-
область на плоскости.
У этой поверхности, очевидно, есть 2 стороны: верхняя
и нижняя. Верхняя сторона может быть охарактеризована тем, что из двух возможных
направлений нормали к этой поверхности в любой ее точке выбирается то, которое
составляет с осью 
острый
угол (нижней стороне, соответственно, отвечает тупой угол между нормалью и осью
).
Пусть
-
точка этой поверхности, т.е. 
.
Уравнение
касательной плоскости к этой поверхности в точке имеет
вид 
(2).
Напомним, что в общем уравнении плоскости 
числа
представляют
собой координаты перпендикулярного к этой плоскости вектора. Согласно (2), 
-
координаты некоторого нормального вектора к поверхности в точке .
Этот вектор, вообще говоря, не единичный. Умножая его на один из нормирующих множителей
мы
получим 2 единичных вектора 
(3) и 
.
Известно,
что координаты единичного вектора (3) — это косинусы углов, составляемых этим
вектором с осями 
соответственно,
т.е. 
.
Т.к. 
,
то 
.
Кроме того, заметим, что 
.
Отметим,
что 
,
поэтому верхней стороне соответствует вектор 
.
Пусть
-
замкнутый контур, лежащий на поверхности и не пересекающей ее край. Выберем в
произвольной точке этого контура одно из двух направлений нормали. Пусть при обходе
этого контура нормаль меняется непрерывно. Тогда в исходную точку мы вернемся
в исходным направлением нормали.
Описанное выше свойство поверхности (1) будем считать определением двусторонней поверхности (в общем случае, а не только для поверхностей вида (1)).
Бывают поверхности, не являющиеся двусторонними. Простейший пример — лист Мебиуса. Если обходить контур, то при возвращении в исходную точку направление нормали изменится на противоположное. Это доказывает одностороннесть листа Мебиуса.
В дальнейшем мы рассматриваем только двусторонние поверхности.
Обычно удобно задавать поверхности
параметрическими уравнениями 
(4),
где 
(
- некоторая плоская область).
При этом мы считаем, что уравнения (4) задают
взаимно-однозначное соответствие между точками поверхности и точками .
