Функции комплексной переменной
Пример 1. 
. Здесь 
= x – iy – число, сопряженное числу z= x+iy.
Выделим действительную и мнимую части ФКП:
u = x2 – y2 – 2x; v = 2xy + 2y.
Вычислим значение функции w в точке z1 = 2 — 3i:
.
Тот же результат получаем непосредственной подстановкой:
.
Говорят,
что ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) имеет предел в точке z0, равный числу A = a +
ib, если 
. Обозначается: 
.
Существование
предела ФКП w = f (z) при 
в означает существование двух пределов: 
.
ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) называется непрерывной в точке
z0, если выполняется условие: 
.
Непрерывность ФКП w = f (z) в точке z0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0, y0).
Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП
Пример 2. Проверить аналитичность ФКП 
.
Þ u = x2 — y2 — 2x; v = 2xy + 2y (см. пример 1). Проверим выполнение
условий Коши-Римана:
.
Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.
Пример 3. Проверить аналитичность ФКП 
.
Выделим действительную и мнимую части функции:
.
Проверим выполнение условий Коши-Римана:
.
Условия
выполняются во всех точках, кроме особой точки (0, 0), в которой
функции и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция
аналитическая
при 
.
Если
функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную 
можно найти, используя правила дифференцирования,
аналогичные правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.
Пример 4. Вычислить значение производной функции
в точке
z0 = — 1+ i.
Функция
– аналитическая,
а значит, дифференцируемая во всей своей области определения (см. пример 3).
Ее производная:
.
Вычислим значение производной в точке z0 = — 1+ i:
Следовательно, 
.
Понятие 
можно
определить независимым от координат способом. Для этого рассмотрим точку 
,
окружим ее шаром радиуса 
и
применим теорему Остроградского-Гаусса: 
,
где 
- вышеупомянутый
шар, а 
-
внешняя сторона ограничивающей его сферы. К правой части применим теорему о среднем
(учитывая непрерывность):
, где 
-
близкая к 
точка.
При 
и
мы можем определить дивергенцию равенством: 
,
в правой части которого система координат не фигурирует.
Если считать
вектором
скорости жидкости, то -
это плотность источника.
Циркуляция. Ротор. Пусть 
-
контур с заданным направлением обхода, -
векторное поле, 
-
единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл
(смысл —
работа силы вдоль
контура ).
Введем
систему координат. Пусть 
-
направляющие косинусы ,
- координаты
.
Тогда
и циркуляция представляет собой интеграл 
.
Для
заданного непрерывно-дифференцируемого поля 
определин
ротор (или вихрь) этого поля: 
.
Легко проверить свойства ротора.
,
где под 
понимаем векторное произведение.
