Некоторые приложения тройных интегралов
Если подынтегральная функция f (x, y, z)
º 1, то тройной интеграл от нее по области
V равен мере области интегрирования —
объему пространственного тела, занимающего область V: 
.
Если
– это плотность
неоднородного материала (т.е. масса единицы объема), из которого изготовлено
тело, то при помощи тройного интеграла можно вычислить массу тела,
его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие
величины. Например, формула для вычисления массы тела имеет вид:
. (12)
Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
Общий вид криволинейного интеграла II рода (по координатам):
,
где BC — это дуга пространственной линии от точки B до точки C с указанным на ней направлением, P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) — некоторые функции, заданные во всех точках дуги BC.
В двумерном случае: 
, где BC
xOy.
Если P (x, y), Q (x, y) — проекции
на оси Ox и Oy вектора переменной силы 
, то
А =
(13)
– это работа силы 
при перемещении точки ее приложения вдоль участка
дуги BC.
Пусть кривая BC задана параметрически: 
причем функции x (t) и y (t) — непрерывны и дифференцируемы по
t, а tB, tC — значения параметра для начала и конца
кривой (в точках B
и C). Тогда
и вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла по переменной t:
.
Вспомним теперь теорему Стокса: 
,
где 
- непрерывно
дифференцируемые функции, 
-
кусочно гладкая поверхность, 
-
ее край, причем направление обхода относительно
выбраной стороны является
положительным.
Получим определение 
без
использования системы координат. Пусть 
-
точка, -
плоскость, в которой лежит окружность 
радиуса
с центром
в . Тогда
по теореме
о среднем ввиду непрерывности подынтегральной функции. Здесь точка 
близка
к . По теореме
Стокса, 
или
.
Ввиду
произвольности выбора плоскости, получаем проекцию 
на
произвольную ось 
.
Это определяет и сам вектор.
16.Соленоидальное поле. Векторная трубка в соленоидальном поле
Определение.
-
соленоидальное поле, если 
.
Векторная линия обладает тем свойством, что в любой ее точке вектор
касательной к линии совпадает с .
