Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Контрольная по математике

Векторное поле

Поток векторного поля через поверхность

Если в любой точке M(x, y, z) области VxOyz задан вектор , то говорят, что в области V задано векторное поле .

Примеры: силовое поле , поле скоростей текущей жидкости, поле электростатических напряженностей .

Векторное поле является заданным, если задана векторная функция от координат точки M(x, y, z). Как правило, функцию задают в виде , где P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством).

Аналогично определяют плоское векторное поле в двумерной области D: .

Пусть в области VxOyz задана двусторонняя поверхность σ, в каждой точке которой определен орт внешней нормали – единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.

Поток векторного поля через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора на орт нормали к поверхности (рис. 6):

.

Поток — это интегральная характеристика векторного поля, она является скалярной величиной. Например, для поля скоростей текущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.

Если поверхность σ задана уравнением F(x, y, z) = 0, то вектор ее нормали коллинеарен градиенту функции, задающей поверхность: , следовательно, орт нормали

.

Для вычисления поверхностного интеграла поверхность σ проектируют на одну из координатных плоскостей, например, в область DxOy. Тогда , и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:

, (16)

где знак «+» следует брать в случае, когда вектор и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».

При вычислении двойного интеграла нужно подынтегральную функцию выразить через переменные x, y, используя заданное уравнение поверхности F(x, y, z) = 0.

Поток вектора через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали обозначают .

Векторная трубка — это совокупность векторных линий.

Пусть - сечения векторной трубки и - ее боковая поверхность. . Рассмотрим внешнюю нормаль к и применим теорему Остроградского: , в случае соленоидального поля. Итак, . На по определению векторной линии , поэтому или . Изменяя направление нормали на на противоположное получаем, что поток соленоидального поля через поперечные сечения векторных трубок постоянен.

17.Потенциальное поле

Легко вычислить, что .

Можно доказать и обратное. Если область односвязная и векторное поле удовлетворяет условию , то - потенциальное, т.е. существует функция такая, что .

Отметим, что выводы о независимости интеграла от формы пути интегрирования, сделанные для двумерного случая, полностью переносятся и на трехмерный. Полученное там условие и вполне аналогичны.