Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:
.
Пусть 
– векторное поле, заданное в области V
xOyz . Дивергенцией векторного поля 
называется скалярная
функция
, (17)
которая характеризует наличие источников
(если 
> 0) и стоков (если < 0), или их отсутствие (если = 0) векторного поля в точке М.
Используя выражения для дивергенции и для потока вектора
через замкнутую поверхность
σ, можно записать формулу Остроградского-Гаусса в векторном виде:
, (18)
т.е.
поток вектора через замкнутую
поверхность σ в направлении ее «внешней»
нормали (рис. 7) равен тройному интегралу от дивергенции
этого поля по области V, ограниченной поверхностью σ.
Потенциальное векторное поле и его потенциал
Векторное
поле называется
потенциальным, если существует такая скалярная функция U(x, y, z), что 
. Функция U называется
потенциалом векторного поля .
Из определения следует, что потенциальное векторное поле – это поле градиентов некоторого скалярного поля U(M) = U(x, y, z).
Пусть векторное поле задано в некоторой области V.
Область V называется односвязной, если любой замкнутый контур (кривую), лежащий в ней, можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя за пределы данной области. Для плоской области D односвязность означает, что для любого замкнутого контура, лежащего в ней, ограниченная этим контуром часть области целиком принадлежит D.
Потенциальность
векторного поля, заданного в односвязной области V,
определяется при помощи его ротора: если во всех точках области V ротор векторного поля – нулевой вектор, то это векторное поле является
потенциальным.
Важное свойство
потенциальных полей заключается в том, что если 
– потенциальное
векторное поле, заданное в некоторой односвязной области V,
то выражение
является полным дифференциалом функции U(x, y, z). В этом случае криволинейный интеграл вида
вдоль любой кривой ВС, принадлежащей V, не зависит от формы кривой и равен разности потенциалов в конечной и начальной точках:
.
Это свойство можно использовать для нахождения потенциала векторного поля при помощи криволинейного интеграла II рода. Для этого нужно взять фиксированную точку В(x0, y0, z0) и произвольную (текущую) точку С(x, y, z) и вычислить криволинейный интеграл по пути ВС:
.
При этом получаем потенциал
U(x, y, z) векторного поля с точностью до произвольного постоянного
слагаемого.
В качестве пути интегрирования ВС
обычно выбирают ломаную ВEKC (рис. 8), звенья которой параллельны осям координат и E(x, y0, z0), K(x, y, z0).
В этом случае потенциал U(x, y, z) находят по формуле:
. (20)
Если в односвязной области задано потенциальное векторное поле силы
,
то с помощью потенциала можно найти работу силы 
при перемещении единичной массы
из одной заданной точки M
этой области в другую точку N как разность
значений потенциалов в этих точках:
. (21)
Вместо этого приведем пример вычисления поверхностного интеграла 1-го типа.
Задача. Найти 
,
где 
- граница
тела 
.
Решение.
Это тело представляет собой конус. 
состоит
из боковой поверхности 
и
основания 
.
На боковой поверхности, уравнение которой 
всюду,
кроме точки 
и
и
.
Нарушение
этой формулы в единственной точке не
повлияет на результат, поэтому 
,
где 
- проекция
на плоскость
, т.е. -
круг 
.
В
интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам: 
(
- якобиан преобразования) 
.
Основание
задано уравнением
, поэтому
и
(этот интеграл
отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление
опущено).
Итак, весь интеграл 
.
