Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Контрольная по математике

Решение примерного варианта контрольной работы №1

Задача 1. Дана функция z = cos²(2x  — y). Требуется:

1) найти частные производные и ;

2) найти полный дифференциал dz;

3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .

Решение.

1) При нахождении считаем аргумент y постоянным:

= (cos²(2x – y)) = 2cos(2x — y)(cos(2x – y)) =

= 2cos(2x — y)(–sin(2x – y))(2x – y) = –2cos(2x — y)sin(2x – y)((2x) — (y)) =

= – 2cos(2x — y)sin(2x – y)(2 — 0) = –sin(2(2x — y))2 = –2sin(4x  — 2y).

При нахождении считаем аргумент x постоянным:

= (cos²(2x – y)) = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) =

= 2cos(2x – y)(–sin(2x — y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x — y)((2x) – (y)) =

=  — sin(2(2x — y))(0 — 1) = sin(4x — 2y).

2) По формуле (1) находим полный дифференциал функции:

dz = = –2sin(4x — 2y)dx + sin(4x — 2y)dy.

3) Найдем смешанные частные производные второго порядка.

Для того, чтобы найти , дифференцируем по у:

= = (–2sin(4x – 2y)) = [считаем x постоянным] =

=  — 2cos(4x — 2y)(4x – 2y) = — 2cos(4x — 2y)(0 — 2) = 4cos(4x  — 2y).

Для того, чтобы найти , дифференцируем по x:

= = (sin(4x – 2y)) = [считаем y постоянным] =

= cos(4x — 2y)(4x – 2y) = cos(4x — 2y)(4 — 0) = 4cos(4x  — 2y).

Получили: = 4cos(4x – 2y), = 4cos(4x – 2y) .

Ответы: 1) = –2sin(4x — 2y); = sin(4x — 2y);

2) dz = –2sin(4x — 2y)dx + sin(4x — 2y)dy;

3) равенство выполнено.

Поверхностные интегралы 2-го рода.

Пусть двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.

Предположим, что задано векторное поле , определенное и непрерывное на .

Определение. Величина называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля по выбранной стороне поверхности .

Этот же интеграл часто записывают так: . При этом для выбранной стороны использованы обозначения , .

Для вычисления поверхностного интеграла 2-го типа используются следующие правила.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференщируемая в области функция, - непрерывная на функция. Тогда если выбрана верхняя сторона , то , а если выбрана нижняя сторона, то .

Аналогично, если задана уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция на , то , если нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Если же , - непрерывно дифференцируемая на функция, а непрерывна на , то , если выбранная нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Теорема сформулирована без доказательства.