Задача. Найти частные производные 
, 
и 
, если переменные x, y, и z
связаны равенством 4x2 y ez — cos(x3 — z) + 2y2 + 3x
= 0.
Решение.
Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).
Для F(x, y, z) = 4x2yez — cos(x3 — z) + 2y2 + 3x получаем:
F
= (4x2yez – cos(x3 — z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными] =
= 8xyez + sin(x3 — z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3 — z) + 3;
F
= (4x2yez – cos(x3 — z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] =
= 4x2ez + 4y;
F
= (4x2yez – cos(x3 — z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] =
= 4x2yez – sin (x3 — z).
По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):
; 
По формуле (3) получаем частную производную функции y = y(x, z):
.
Ответы: 
; 
;
.
Задача 3. Дана сложная функция
z = ln(2t – x2y), где x = cos3t,
. Найти полную
производную 
.
Решение. Используя формулу (4), получаем:
.
Подставив в полученный результат x = cos3t,
, получим выражение полной производной
через независимую
переменную t:
Ответ: 
.
Следствие
1. Если поверхность 
допускает
представление как в виде 
,
так и в виде 
и
в виде 
,
то при условиях теоремы 1 
,
где выбор знака + или — перед соответствующим слагаемым в правой части равенства
определяется тем, какой угол составляют нормали к выбранной стороне с соответствующей
осью.
Следствие 2. Если представляет
собой конечное объединение непересекающихся поверхностей, 
,
каждая из которых удовлетворяет условиям следствия 1, то 
и
для вычисления 
используется
следствие 1.
Теорема 2. Пусть двусторонняя поверхность задана
параметрическими уравнениями 
,
где 
- непрерывно
дифференцируемые функции и 
.
Тогда
для непрерывным на функций
и выбранной
нормали 
,
где, напоминаем, 
,
, 
.
При этом выбор знака "+" или "-" перед интегралом производится в соответствии
с выбором нормали (и, следовательно, стороны) поверхности. К примеру, если указано,
что нормаль составляет с осью 
острый
угол, то знак перед интегралом совпадает со знаком 
.
Теорема 2 также дана без доказательства.
