Задача Поверхность задана уравнением z = 
+ xy
– 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0
= 2.
Решение.
Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим, используя формулы (5) и (6). Найдем частные производные функции
z = f (x, y) = + xy
— 5x3: Теоремы о пределах функций Арифметические операции
над функциями, имеющими предел в точке а, приводят к функциям, также имеющим
предел в этой точке.
(x, y) = ( + xy — 5x3)
= — 
+ y
– 15x2;
(x, y) = ( + xy — 5x3)
= 
+ x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
z = + xy
– 5x3 
z0 = 
+ (–1) 2 — 5 (–1)3 = 1.
Вычисляем значения частных производных в точке М0(–1, 2, 1):
(М0) = –
+ 2 — 15(–1)2 = –15; (М0) = 
– 1 = –2.
Пользуясь формулой (5), получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М0:
z — 1= –15(x + 1) — 2(y
– 2) 15x + 2y + z
+ 10 = 0.
Пользуясь формулой (6), получаем канонические
уравнения нормали к поверхности σ в точке М0: 
= 
= 
.
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z
+ 10 = 0; уравнения нормали: = = .
Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y,
точка М0(1,–1) и вектор 
. Требуется:
1) найти уравнения линий уровня поля;
2) найти градиент поля в
точке M0 и производную 
в точке M0 по направлению вектора 
;
3) построить в системе координат
xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую
через точку M0, изобразить
вектор 
на этом чертеже.
Решение.
1) Для U = x2 — 2y уравнение семейства линий уровня имеет вид
x2 — 2y
= С или y = 
– 
, где С — произвольная постоянная. Это семейство парабол,
симметричных относительно оси Oy (ветви направлены вверх) с вершинами в точках (0, —
).
2) Найдем частные производные функции U = x2 — 2y:
= (x2 – 2y) = 2x, 
= (x2 – 2y) = — 2.
В точке М0(1,–1) значения
частных производных:
, 
.
По формуле (7) находим градиент поля в точке M0:
.
Прежде, чем найти производную
по направлению вектора = = {2; — 1}, вычислим его модуль и направляющие
косинусы:
, 
.
Производную
поля по направлению вектора в точке М0 вычисляем
по формуле (8): 
.
3) Для построения
линий уровня в системе координат xОy
подставим в уравнение семейства линий уровня y = – различные значения С:
при С = 0 получим y = 
– уравнение линии уровня, соответствующей значению U = 0;
при С = –2 получим y = + 1 (для U
= –2);
при С = 2 получим y = – 1 (для U = 2);
при С = – 4 получим y = + 2, и т.д.
Получим уравнение линии
уровня, проходящей через точку М0(1,–1). Для этого вычислим
значение функции U
в этой точке: 
.
Построим эти линии в системе координат xОy (рис. 10).
Для построения градиента
поля в точке M0 нужно отложить от точки М0 проекции
градиента в направлениях координатных осей и построить вектор 
по правилу параллелограмма.
В данном случае 
, поэтому откладываем от точки
М0(1,– 1) две единицы вдоль оси Ox, две единицы в направлении, противоположном
оси Oy
и получаем вектор 
как диагональ параллелограмма, построенного на
векторах 
и 
(рис. 10).
Ответы: 1) x2 — 2y = С; 2) 
, 
;
3) линии уровня и 
на рисунке 10.
Далее,
если поверхность 
можно
представить в виде объединения поверхностей 
и
цилиндрической поверхности, то 
,и,
при аналогичных условиях, 
.
Поэтому,
если поверхность удовлетворяет
условиям всех трех случаев, то 
.
Теперь
предположим, что 
состоит
из конечного числа тел 
,
разделенных гладкими поверхностями 
,
причем эти тела 
удовлетворяют
сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть 
.
Тогда
. Каждый
из интегралов 
преобразуем
по формуле Остроградского-Гаусса как 
,
где взяты внешние стороны поверхностей 
.
Поверхности
имеют общую
часть 
,
причем их внешние нормали на противоположны
и интегралы по от
взаимно
сократятся, поэтому 
.
Тем самым, теорема доказана.
