Задача Дана функция комплексной переменной
, где z = x + iy, и точка z0
= — 1 + 3i. Требуется:
1) представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;
2) проверить, является ли функция w аналитической;
3) в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.
Решение.
1) Выделим действительную и мнимую части функции: Приведем примеры использования функций в области экономики. Кривые спроса и предложения. Точка равновесия. Рассмотрим зависимости спроса D (demand) и предложения S (supply) от цены на товар Р (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадающей кривой
.
2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10):
Получили:
. Условия Коши-Римана выполняются
во всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция
– аналитическая при
.
3) Найдем производную функции:
.
Вычислим значение производной функции в точке z0 = — 1 + 3i.
Ответы:
1)
;
2)
функция аналитическая
при ;
3)
.
Векторная
запись формулы Остроградского. Вспомним формулировку теоремы Остроградского-Гаусса:
, где 
-
непрерывно дифференцируемое векторное поле, 
-
замкнутая поверхность, ограничивающая объем 
и
- вектор
внешней нормали.
Левая часть формулы имеет вид 
,
т.е. представляет собой поток 
через
внешнюю сторону ,
а правую часть можно выразить следующим образом: 
.
Итак, векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:
При сформулированных
выше условиях 
.
14.Формула Стокса. Ее векторная запись
Теорема. Пусть -
гладкая ориентированная двусторонняя поверхность (т.е. направление нормали выбрано)
и 
- кусочно
гладкая кривая, ограничивающая ,
причем мы считаем направление обхода положительным.
Пусть функции 
-
непрерывно дифференцируемые. Тогда 
.
Замечание
1. Равносильная формулировка: 
.
Замечание
2. В случае плоской кривой ,
лежащей на плоскости 
и
функций 
эта
формула совпадает с формулой Грина.
Замечание 3. Формулы в правой
части запомнить непросто. Поэтому удобно записать подынтегральное выражение в
виде определителя 
.
