Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Контрольная по математике

Решение примерного варианта контрольной работы №2

Задача Вычислить работу силы при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

Решение.

Для вычисления работы используем криволинейный интеграл II рода (формула (13)): .

Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС: Основы дифференцирования Функцией называется непрерывной, если в каждой своей точке из области определения, данная функция будет иметь производную.

.

Для заданной кривой получаем:

Таким образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:

Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

, ,

тогда получим: .

Используем прием «подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции»:

Ответ: ед. работы.

 

Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:

. Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

Решение.

Вектор-функция задана в виде: .

Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t), y(t) z(t) по аргументу t:

Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (14) и (15):

.

Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:

, .

Ответы: , .

Векторная запись формулы Стокса. Вспомним, что , где - направляющие косинусы к выбранной стороне.

При этом правая часть формулы Стокса принимает вид или . Итак, в сделанных выше предположениях теорема Стокса выглядит так: .

15.Скалярное и векторное поле. Определение и основные свойства градиента, дивергенции, ротора, потока и циркуляции векторного поля

Скалярное и векторное поле.

Определение.Скалярное поле на области () представляет собой произвольную функцию , определенную на .

Поверхности уровня скалярного поля — это множества решений уравнения при заданных значениях C.

Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры — изотермы, изобары и т.д.

Векторное полена области (или ) — это вектор, координаты которого являются функциями, определенными на .

Примеры представляют собой силовое поле,поле скоростей и т.п.